Elementare Rechenoperationen

Bevor wir die einzelnen Rechenarten beleuchten wollen wir zunächst folgende Begriffe klären.

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Dieses Gesetz besagt, dass Terme mit einem kommutativen Rechenoperator vertauscht werden können ohne das sich das Ergebnis ändert. Kommutative Rechenoperationen sind die Addition und die Multiplikation.

Beispiele:

$$\begin{gathered} 1 + 6 = 7 = 6 + 1 \\ 5 · 6 = 30 = 6 · 5 \\ a + b = b + a \\ a · b = b · a \end{gathered}$$

Assoziativgesetz (Zusammenfassungsgesetz)

Dieses Gesetz besagt, dass einzelne Zahlen bzw. Variablen zusammengefasst werden können, wenn sie Teil einer assoziativen Rechenoperation sind. Assoziative Rechenoperationen sind die Addition und die Multiplikation.

Beispiele:

$$\begin{gathered} 3 + 6 + 9 =18 = (3 + 6) + 9 \\ 3 · 4 · 2 = 12 = (3 · 4) · 2 \\ a + b + c = (a + b) + c \\ a · b · c = a · (b · c) \end{gathered}$$

Neutrales Element

Das neutrale Element einer Rechenoperation sind Zahlen die keinen Einfluss auf das Ergebnis haben. Die neutralen Elemente der einzelnen Rechenoperationen sind:

• Addition – 0
• Subtraktion – 0
• Multiplikation – 1
• Division – 1

Beispiele:

$$\begin{gathered} 1 + 0 = 1 \\ 1 – 0 = 1 \\ 5 · 1 = 5 \\ 5 ÷ 1= 5 \end{gathered}$$

Addition

Die Addition ist eine kommutative und assoziative Rechenoperation bei der zwei oder mehr Summanden zu einer Summe addiert werden. Das neutrale Element einer Addition ist die 0. Die Umkehroperation der Addition ist die Subtraktion.

Negative Zahlen

Eine negative Zahl wird addiert indem die Gegenzahl subtrahiert wird.

$10+(–3) = 10 – \left(3\right) = 7$

Subtraktion

Die Subtraktion ist eine Rechenoperation bei welcher der Subtrahend vom Minuend abgezogen wird, wodurch eine Differenz entsteht. Das neutrale Element der Subtraktion ist die 0. Die Umkehroperation der Subtraktion ist die Addition.

Negative Zahlen

Eine negative Zahl wird subtrahiert indem die Gegenzahl addiert wird.

$10–(–5) = 10 + \left(5\right) = 15$

Klammern

Beim auflösen von Klammern mit positiven Vorzeichen, können die Vorzeichen in der Klammer beibehalten werden. Bei Klammern mit negativen Vorzeichen, müssen die Vorzeichen innerhalb der Klammer beim auflösen der Klammer vertauscht werden. Klammern ohne Vorzeichen sind immer positiv. Beim Auflösen von Klammern wird von innen nach außen aufgelöst.

Beispiel

$$\begin{gathered} a–[–(b–(c+d)\left)\right] \\ = a–[–(b–c–d\left)\right] \\ = a–[–b+c+d] \\ = a+b–c–d \end{gathered}$$

Das Gleiche Beispiel mit Zahlen. Jede Zeile ergibt dasselbe.

$$\begin{gathered} 50–[–(20–(10+5)\left)\right] \\ =50–[–(20–10–5\left)\right] \\ =50–[–20+10+5] \\ =50+20–10–5 \end{gathered}$$

Übrigens: Die eckige Klammer bedeutet nur, dass das Intervall abgeschlossen ist. Sie kann ganz normal in den Taschenrechner eingegeben werden.

Nach dem Auflösen von Klammern wird soweit wie möglich zusammengefasst.

$$\begin{gathered} (3a–2c)–(7a–6c+4b) \\ =3a–2c–7a+6c–4b \\ =–4a+4c–4b \end{gathered}$$

Multiplikation

Die Multiplikation ist eine kommutative und assoziative Rechenoperation bei der zwei oder mehr Faktoren miteinander zu einem Produkt multipliziert werden. Das neutrale Element der Multiplikation ist die 1 und die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division.

Negative Zahlen

Das Produkt zweier Faktoren gleicher Vorzeichen ist positiv. Das Produkt zweier Faktoren unterschiedlicher Faktoren ist negativ.[tealbox]

Beispiele

$$\begin{gathered} (+a)·(+b)=a·b \\ 3·5=15 \\ (+a)·(–b)=–a·b \\ 3·(–5)=–15 \\ (–a)·(–b)=a·b \\ (–3)·(–5)=15 \end{gathered}$$

Nullprodukt

Enthält ein Produkt den Faktor Null, so ist das Produkt Null.

Beispiele

$$\begin{gathered} 0 · 5 = 0 = 5 · 0 \\ a · 0 = 0 = 0 · a \end{gathered}$$

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Ein Faktor wird mit einer Summe multipliziert indem der Faktor mit jedem Summanden multipliziert wird und die Produkte addiert.

$$\begin{gathered} 3·(a+b) = (a+b) + (a+b) + (a+b) \\ = a + b + a + b + a + b \\ = 3a + 3b \end{gathered}$$

Division

Bei der Division wird der Dividend durch den Divisor geteilt. Das Ergebnis lautet Quotient. Das neutrale Element der Division ist die 1 und die Umkehroperation ist die Multiplikation.

Beispiel

$a ÷ b = \frac{a}{b} = c \left(Quotientwert\right)$

Negative Zahlen

Ist der Nenner oder der Zähler negativ, entsteht wiederum eine negative Zahl als Quotient.

$$\begin{gathered} \frac{–4}{5} = –\frac{4}{5} = –0,8 \\ \frac{–a}{b} = –\frac{a}{b} = –c \\ \frac{4}{–5} = –\frac{4}{5} = –0,8 \end{gathered}$$

[tealbox]Schauen wir uns die Gleichungen an, stellen wir fest, dass das Vorzeichen vor einem Bruch in den Zähler oder den Nenner übergeben werden kann.

Durch Multiplikation mit -1 kann das negative Vorzeichen aufgehoben werden.

$$\begin{gathered} \frac{–4}{5}=–0,8 \\ (–0,8) · (–1) = 0,8 \end{gathered}$$

Der Quotient aus Termen mit gleichem Vorzeichen ist positiv und der Quotient aus Termen mit unterschiedlichen Vorzeichen ist negativ.

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Machen wir nicht Punkt Ende aus.