Formeln umstellen

Um Formeln oder Gleichungen umzustellen, muss erst einmal verstanden werden wie eine Formel überhaupt aufgebaut ist.

Eine Formel besteht in erster Linie aus Formelzeichen und einem Gleichheitszeichen. Die Formelzeichen für physikalische Größen sind Einheiten des „Système International d’Unités“. Auch SI-Einheiten genannt.

Einheiten, Einheitennamen und Einheitenzeichen sind in der DIN 1301 und deren Formelzeichen in der DIN 1304 beschrieben.

Aufbau einer Gleichung

$M=F·l$

Die Formel zur Berechnung eines Drehmoments besagt, dass das Drehmoment gleich der Kraft x Länge des Hebelarmes ist. Dies bedeutet, dass alles links des Gleichheitszeichens den Selben Wert hat wie rechts des Gleichheitszeichens. Aus diesem Grund spricht man auch von einer Gleichung. Noch deutlicher wird dies, wenn Zahlen bzw. Einheiten eingesetzt werden.

$M \left[Nm\right] = F \left[N\right] · l \left[m\right]$

Eine Formel umstellen

Wie wir nun wissen muss eine Gleichung immer im Gleichgewicht sein. Alles was auf der einen Seite des Gleichheitszeichens geschieht, muss also auch auf der anderen Seite passieren.

Wollen wir nun eine Formel umstellen, müssen wir nichts weiter tun als dafür zu sorgen, dass das Formelzeichen zu welchem umgestellt werden soll, auf einer Seite des Gleichheitszeichens alleine steht.

In unserem Beispiel Drehmoment steht das M alleine. Möchten wir nun aber wissen, welche Länge des Hebelarms l benötigt wird, müssen wir nach l umstellen. Also müssen wir dafür sorgen, dass l alleine steht.

Um Formelzeichen von einer auf die andere Seite zu bekommen, müssen wir die Beziehung des Formelzeichens zur Formel umkehren. Aus + wird – aus · wird ÷ und Wurzeln werden potenziert. Dies nennt man Äquivalenzumformung.

$$\begin{gathered} M = F · l ÷ F \\ \frac{M}{F} = l \end{gathered}$$

Prioritäten

Beim umstellen von Gleichungen geht man umgekehrt der Reihenfolge vor, in der wir eine Formel berechnen würden.

Kommutativgesetz

Beim Umstellen von Formeln gilt das Kommutativgesetz. Dies bedeutet, dass wir Werte deren Operationen kommutativ sind vertauschen können. Kommutative Operationen sind die Addition und die Multiplikation. Division und Subtraktion sind hingegen nicht kommutativ

$$\begin{gathered} a + b = b + a \\ a · b = b · a \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} Beispiel 1 x ist gesucht: \\ L=1+x·(3y–7) –1 \\ L–1=x·(3y–7) ÷(3y–7) \\ \frac{L–1}{(3y–7)}=x \end{gathered}$$

Nehmen wir das selbe Beispiel. Nun steht aber ein Minus hinter der 1 damit ist die Operation nicht mehr kommutativ! Wir können also nicht einfach das Vorzeichen von 1 umformen. Von daher muss der ganze Block der in der Ursprungsformel subtrahiert werden würde nun addiert werden.

$$\begin{gathered} Beispiel 2 wieder ist x gesucht: \\ L=1–x·(3y–7) +x·(3y–7) \\ L+x·(3y–7) = 1 –L \\ x·(3y–7) = 1–L ÷(3y–7) \\ x=\frac{1–L}{3y–7} \end{gathered}$$

Brüche auflösen

Sollte der gesuchte Wert in einem Bruch stehen so lösen wir zunächst den Bruch auf. Da der Bruch aber eine Division ist und eine Division nicht kommutativ ist, müssen wir den Nenner erst einmal aus diesem herausbekommen indem wir ihn multiplizieren. Dadurch steht er wieder in einer kommutativen Multiplikation.

$$\begin{gathered} Wieder ist x gesucht: \\ N=\frac{3}{x}–7 +7 \\ N+7=\frac{3}{x} ·x \\ (N+7)·x=3 ÷N+7 \\ x=\frac{3}{N+7} \end{gathered}$$

Potenzen auflösen

Die Äquivalenzumformung einer Potenz ist die Wurzel

$$\begin{gathered} Es wird y gesucht: \\ A=6·x·y^2 ÷6 \\ \frac{A}{6}=x·y^2 ÷x \\ \frac{A}{6·x}=y^2 \sqrt{} \\ \sqrt{\frac{A}{6·x}}=y \end{gathered}$$

Wurzel auflösen

Sollte sich das umzuformende Formelzeichen unter einer Wurzel befinden, müssen wir zunächst die Wurzel auflösen. Aber zunächst wäre da noch ein Bruch außerhalb der Wurzel. Dieses mal wird m gesucht.

$$\begin{gathered} f=\frac{1}{2\pi }·\sqrt{\frac{D}{m}} ·2\pi \\ f · 2\pi = 1 · \sqrt{\frac{D}{m}} \\ {\left(f ·2\pi \right)}^2 = \frac{D}{m} ·m \\ (f ·2\pi {)}^2 · m = D ÷(f · 2\pi {)}^2 \\ m = \frac{D}{(f · 2\pi {)}^2} \end{gathered}$$

Übrigens: Manchmal liest man wie hier die Schreibweise 2π oder auch 2(x ⋅ y) Wenn vor einem Formelzeichen oder einer Klammer kein Rechenoperator steht, so wird immer multipliziert. Also 2π = 2 ⋅ π.

Noch ein Beispiel. Dieses mal wird L gesucht.

$$\begin{gathered} \omega =\sqrt{\frac{1}{LC}} x^2 \\ {\omega }^2 = \frac{1}{LC} ·LC \\ {\omega }^{2 } ·LC = 1 ÷{\omega }^{2 } ÷C \\ L=\frac{1}{{\omega }^{2 }·C} \end{gathered}$$

Hauptnenner bilden

In einigen Formeln muss erst ein gemeinsamer Nenner gefunden werden, damit diese umgestellt werden kann. Dies wird dadurch erreicht indem sowohl im Zähler als auch im Nenner der Nenner des jeweils anderen Bruchs multipliziert wird.

$$\begin{gathered} \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} Hauptnenner \\ \frac{1}{R}=\frac{R_2}{R_1·R_2}+\frac{R_1}{R_1·R_2} \\ \frac{1}{R}=\frac{R_2+R_1}{R_1·R_2} Kehrwert \\ R=\frac{R_1·R_2}{R_1+R_2} \end{gathered}$$

Termumformung

Manchmal kann es sinnvoll sein die Formel etwas umzustellen, damit diese einfacher umzustellen ist. Nehmen wir als Beispiel diese Formel:

$a=\frac{m·z_1+m·z_2}{2}$

Hier wird mit dem Wert m sowohl einmal z₁  als auch z₂ multipliziert und diese Ergebnisse werden addiert. Das selbe erhalten wir, wenn wir die Formel so schreiben:

$a=\frac{m·(z_1+z_2)}{2}$

Ob die Werte einzeln oder als Summe multipliziert werden ist vollkommen unerheblich. So lässt sich die Formel jedoch viel einfacher umstellen.

$$\begin{gathered} a=\frac{m·(z_1+z_2)}{2} ·2 \\ a·2=m·(z_1+z_2) ÷z_1+z_2 \\ \frac{a·2}{z_1+z_2}=m \end{gathered}$$

Vorzeichen umkehren

In diesem Beispiel möchte ich aus einer umgestellten Formel das  – Vorzeichen entfernen. Dazu multipliziere ich mit -1. Denn – mal – ergibt +. Achtung auch auf der linken Seite werden die Vorzeichen vertauscht, damit alles wieder im Gleichgewicht ist. Zur besseren Lesbarkeit kann man die Endformel unter der Wurzel umstellen.

$$\begin{gathered} A=\frac{\mathrm{\pi }}{4}·(D^2–d^2) ·4 \\ A·4=\mathrm{\pi }·\left({\mathrm{D}}^2–{\mathrm{d}}^2\right) ÷\mathrm{\pi } \\ \frac{\mathrm{A}·4}{\mathrm{\pi }}={\mathrm{D}}^2–{\mathrm{d}}^2 –{\mathrm{D}}^2 \\ \frac{\mathrm{A}·4}{\mathrm{\pi }}–{\mathrm{D}}^2=–{\mathrm{d}}^2 ·\left(–1\right) \\ –\frac{\mathrm{A}·4}{\mathrm{\pi }}+{\mathrm{D}}^2={\mathrm{d}}^2 \sqrt{} \\ \sqrt{–\frac{\mathrm{A}·4}{÷}+{\mathrm{D}}^2}=\mathrm{d} = \sqrt{{\mathrm{D}}^2–\frac{\mathrm{A}·4}{\mathrm{\pi }}}=\mathrm{d} \end{gathered}$$