Gauß’sches Eliminationsverfahren

Das Gauß’sche Eliminationsverfahren dient zum Lösen von linearen Gleichungssystemen mit mindestens 3 Variablen. Durch Äquivalenzumformungen können nach und nach die Variablen eliminiert werden.

Beispiel:

$$\begin{gathered} 4x + 5y –3z = 5 \\ 2x + 3y –z = 7 \\ –4x – y + 2z =1 \end{gathered}$$

Die Gleichung enthält drei Variablen, x, y und z. Zunächst schreiben wir die Gleichungen in eine Matrix um. Dabei lassen wir die Variablen einfach weg und schreiben die reinen Zahlenwerte hin. Steht eine Variable ohne Zahl da so ist der Wert 1. Minus Vorzeichen müssen mit geschrieben werden. Plus Vorzeichen können weggelassen werden.

$\begin{array}{c}\mathrm{I}\\ \mathrm{II}\\ \mathrm{III}\end{array}\left(\overline{)\begin{array}{ccc}\mathbf{4}& 5& –3\\ \mathbf{2}& 3& –1\\ \mathbf{–}\mathbf{4}& \mathbf{–}\mathbf{1}& 2\end{array}}\begin{array}{c}5\\ 7\\ 1\end{array}\right)$

Die römischen Ziffern vor der Klammer dienen nur zur Identifikation der Zeilen. Die grünen Zahlen sollen am Ende 0 ergeben. Dazu formen wir die Gleichungen so um, dass dies der Fall ist. Dazu einige Regeln.

• Steht in der ersten Gleichung an erster Stelle eine 0, so muss diese Gleichung mit einer Gleichung darunter getauscht werden. Sind in allen Gleichungen an erster Stelle eine 0 ist die Gleichung nicht lösbar.
• Wir dürfen eine Gleichung mit einem beliebigen Faktor multiplizieren
• Gleichungen unter einander vertauschen (Zeilen tauschen)
• Gleichungen miteinander addieren oder Subtrahieren.

Dazu gehen wir von oben nach unten vor. In der ersten Spalte der zweiten Zeile steht eine 2 (grün markiert). Die 4 darüber (rot markiert) beträgt im Idealfall 1. Ist dies nicht der Fall können wir einen Zeilentausch vornehmen. Wenn in keiner Gleichung am Anfang eine 1 steht, ist es das einfachste den Wert in der ersten Spalte mit der Gleichung II zu multiplizieren und dann subtrahieren wir das Produkt aus dem Wert der Gleichung II mit der Gleichung I. Dabei kommt in der ersten Spalte 0 heraus. Das gleiche Prinzip setzen wir bei Zeile III ein.

$\begin{array}{c}\mathrm{I}\\ \mathrm{II}\\ \mathrm{III}\end{array}\left(\overline{)\begin{array}{ccc}\mathbf{4}& 5& –3\\ \mathbf{2}& 3& –1\\ \mathbf{–}\mathbf{4}& \mathbf{–}\mathbf{1}& 2\end{array}}\begin{array}{c}5\\ 7\\ 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ 4·\mathrm{II}–2·\mathrm{I}\\ \mathrm{III}·4–\mathrm{I}·(–4)\end{array}$

Die Ergebnisse schreiben wir in eine neue Matrix. Die erste Zeile verändert sich nicht. Nun müssen wir noch die 16 auf 0 bekommen. Das Prinzip bleibt das Selbe nur das wir uns dieses mal auf Gleichung II beziehen um die Gleichung nicht aus dem Gleichgewicht zu bringen.

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\mathrm{I}\\ \mathrm{II}\\ \mathrm{III}\end{array}\left(\overline{)\begin{array}{ccc}\mathbf{4}& 5& –3\\ \mathbf{0}& 2& 2\\ \mathbf{0}& \mathbf{16}& –4\end{array}}\begin{array}{c}5\\ 18\\ 24\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ \mathrm{III}·2–\mathrm{II}·16\end{array} \\ \begin{array}{c}\mathrm{I}\\ \mathrm{II}\\ \mathrm{III}\end{array}\left(\overline{)\begin{array}{ccc}\mathbf{4}& 5& –3\\ \mathbf{0}& 2& 2\\ \mathbf{0}& \mathbf{2}& –40\end{array}}\begin{array}{c}5\\ 18\\ –240\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ \end{array} \end{gathered}$$

Nun stehen in der letzten Zeile nur noch zwei Werte -40 und -240. Die -40 stehen in der Spalte welche wir für die Variable z eingesetzt haben. Die daraus resultierende Gleichung I ist also:

$$\begin{gathered} z·(–40) = –240 |÷(–40) \\ z=6 \end{gathered}$$

Jetzt können wir die 6 als Wert für z in die Gleichung II einsetzen.

$$\begin{gathered} 2y+ 2 · 6 = 18 | – 2 · 6 \\ 2y = 18 – 12 | ÷2 \\ y = \frac{18–12}{2} \\ y= 3 \end{gathered}$$

Zuletzt pflegen wir y und z in die Gleichung I ein.

$$\begin{gathered} 4x + 5 ·3 – 3 ·6 = 5\Rightarrow 4x + 15 – 18 = 5 |–15 + 18 \\ 4x = 5 –15 + 18 |÷4 \\ x = \frac{5–15 + 18}{4} \\ x = 2 \end{gathered}$$

Nun haben wir alles was wir brauchen.

$\mathbb{L}=\left\{\right(2; 3; 6\left)\right\}$

Prüfen

Um zu überprüfen ob die Werte richtig sind können diese in die Gleichungen aus Block 1 eingesetzt werden. Diese rechnen ist das Ergebnis korrekt scheinen die Werte zu stimmen.