Automatisierungstechnik

Logische Verknüpfungen

Variablen

Logische Verknüpfungen verknüpfen Abfragen zu den Wahrheitswerten WAHR oder FALSCH. In der Digitaltechnik kann eine Variable nur die Werte 0 oder 1 haben.

  • 0 = FALSCH (Bedingung nicht erfüllt)
  • 1 = WAHR (Bedingung erfüllt)

Algebraische Formelsymbole

Konjunktion: A UND BWAHR wenn A UND B WAHR
Disjunktion: A ODER BWAHR wenn A ODER B WAHR
Implikation: WENN A DANN BWAHR wenn aus A B folgt
¬Negation: NICHT AWAHR wenn A FALSCH ist oder umgekehrt
Äquivalenz: GENAU BWAHR wenn A UND B den selben Wahrheitswert haben
Antivalenz: A Exklusiv ODER BWAHR wenn entweder A ODER B WAHR sind, aber nicht beides
Shefferfunktion: NICHT (A UND B)∧ oder ∨
Peircfunktion: NICHT (A ODER B)Weder A noch B

Verknüpfungen

In der Digitaltechnik gibt es drei logische Grundverknüpfungen.

  • NICHT
  • UND
  • ODER

Die Grundfunktionen können zu anderen Funktionen kombiniert werden. Es folgt eine Übersicht der gängigsten Funktionen.

Negation (NICHT-NOT) ¬

Wahrheitstabelle
AZ
01
10

Die Ausgabevariable ist WAHR wenn die Eingabevariable FALSCH ist.

Konjunktion (UND-AND) ∧

Wahrheitstabelle
A BZ
000
010
100
111

Die Ausgabevariable ist nur dann WAHR wenn alle Eingabevariablen WAHR sind.

Disjunktion (ODER-OR) ∨

Wahrheitstabelle
A BZ
000
011
101
111

Die Ausgangsvariable ist dann WAHR wenn eine der Eingangsvariablen WAHR ist.

Antivalenz (Exklusiv ODER-XOR) ⊕

Wahrheitstabelle
A BZ
000
011
101
110

Die Ausgangsvariable ist WAHR wenn eine der Eingangsvariablen WAHR ist aber nicht beide.

Äquivalenz (Exklusiv NICHT ODER-EXNOR) =

Wahrheitstabelle
A BZ
001
010
100
111

Die Ausgangsvariable ist WAHR wenn beide Eingangsvariablen denselben Wahrheitswert haben.

Schefferfunktion (NICHT UND-NAND)

Wahrheitstabelle
A BZ
001
011
101
110

Die Ausgangsvariable ist WAHR wenn eine der Eingangsvariablen nicht WAHR ist.

Peircfunktion (NICHT ODER-NOR)  ↓

Wahrheitstabelle
A BZ
000
010
100
111

Die Ausgangsvariable ist WAHR wenn alle Eingangsvariablen FALSCH sind.

Beispiel Rundtisch

Ein Rundtisch hat einen Einpresszylinder, der von einem Kolben bewegt wird. An dem Tisch befinden sich 3 Taster (SF1, SF2 und SF3). Werden mindestens 2 Taster gleichzeitig bewegt, fährt der Kolben aus. Hat der Zylinder die erforderliche Einpresstiefe erreicht (BG2), fährt der Zylinder wieder zurück. Ein Neustart des Vorgangs kann erst erfolgen, wenn sich der Kolben wieder in der oberen Endstellung befindet (BG1).

Vorüberlegung

Aus dem Text können wir lesen, dass der Vorgang immer dann gestartet werden kann, wenn mindestens zwei Taster (SF1, SF2 und SF3) gleichzeitig betätigt werden und der Kolben (BG1) sich in der oberen Endstellung befindet. Übersetzt bedeutet dies mindestens zwei Taster und der Kolben müssen den Zustand WAHR haben also eine 1. Dies können wir in eine Wertetabelle eintragen.

ZeileSF1SF2SF3BG1AusgangAlgebraische Gleichung
100000
200010
300100
400110
501000
601010
701100
801111 SF1SF2SF3BG1=K
910000
1010000
1110100
1210111 SF1SF2SF3BG1=L
1311000
1411011 SF1SF2SF3BG1=M
1511100
1611111

Anhand dieser Wertetabelle können wir nun einen Logikplan erstellen.

Es handelt sich hierbei um die Disjunktive Normalform (UND vor ODER). Diese ist sinnvoll, wenn weniger 1 als 0 in der Wertetabelle sind. Wäre es umgekehrt also weniger 0 als 1 dann wäre die Konjunktive Normalform (ODER vor UND) die bessere Wahl.

Beispiel Lüfterüberwachung

In einer Tiefgarage sind vier Lüfter installiert. Die Funktionsüberwachung erfolgt durch je einen Luftströmungswächter (E1-E4) An der Einfahrt der Tiefgarage ist eine Ampel angebracht. Sind alle vier Lüfter oder drei Lüfter in Betrieb, so ist für eine ausreichende Belüftung gesorgt und die Ampel zeigt grün (Ausgang A3). Bei Betrieb von nur zwei Lüftern schaltet die Ampel auf gelb (Ausgang A2). Sind weniger als zwei Lüfter in Betrieb, muss die Ampel rot (Ausgang A1) anzeigen.

Vorüberlegung

Aus dem Text lesen wir heraus, dass der Ausgang A3 immer dann 1 ist wenn mindestens 3 Eingänge gleichzeitig 1 sind. Sind genau zwei Lüfter aktiv schaltet die Ampel auf gelb. Denn 3 oder mehr sind grün und weniger als 2 sind schon rot.

ZeileE1E2E3E4A1A2A3
100001
200011
300101
400111
501001
601011
701101
801111
910001
1010011
1110101
1210111
1311001
1411011
1511101
1611111

KV-Diagramm

Das sogenannte KV-Diagramm soll dabei helfen die aus der Tabelle resultierenden Ergebnisse zu minimieren. Das KV Diagramm ist so zu beschriften, dass jede Variable und jede negierte Variable ein mal auf einander treffen können. In unserem Fall haben wir 4 Eingänge, es ergeben sich also 4^4 = 16 mögliche Kombinationen.

Um es auszufüllen liest man die Werte einfach aus der Wertetabelle ab und setzt die 1 da wo sie auskommt, wenn alle Bedingungen erfüllt sind. eine 0 steht dabei für „nicht“.

Beispiel anhand der ersten 1 in der Spalte A1. Ich habe die möglichen Bereiche grün markiert. Alle Eingänge sind negiert. Zunächst schaut man wo E1 negiert ist, dann wo E2 negiert ist. Diese Bereiche überlagern sich in einer Schnittmenge, der Bereich wird kleiner also dunkler, da zwei Bereiche übereinander liegen. Wo E3 negiert ist wird der Bereich nochmal kleiner und dunkler und E4 negiert hat schließlich nur noch 1 einziges Feld und da setzen wir eine 1 hin.

Ausgang A1

Zeile 1 Ausgang A1
fertig ausgefüllt

Nun bilden wir Gruppen aus den 1 die so groß wie möglich sind. Allerdings dürfen nur Gruppen gebildet werden, deren Anzahl an 1 eine Zweierpotenz ist. Also 2, 4, 8, 16, 32 usw.

Die Gruppen dürfen den Rand des Diagramms verlassen um auf der gegenüberliegenden Seite verwendet zu werden.

Aus diesen Gruppen kann man wiederum Gleichungen ableiten. Wobei die Eingänge so notiert werden, wie sie auch schon beim Eintragen abgelesen wurden. Eingänge die sowohl negiert als auch nicht negiert vorkommen heben sich auf und werden nicht notiert.

E1  E3  E4  E1  E2  E3 E2  E3  E4 E1  E2  E4 = A1

Das KV Diagramm kann man auf die selbe Weise für die Ausgänge A2 und A3 wiederholen und daraus weitere Schlüsse ziehen. z.B. einen Logikplan oder Kontaktplan zeichnen.

Hinweis: Ich schreibe diesen Artikel als Lernender. Daher ist mein Verfahren vielleicht nicht immer das sauberste. Obwohl dieser Artikel sorgfältig recherchiert und erarbeitet ist übernehme ich keinerlei Haftung für die Richtigkeit der Inhalte. Solltet ihr einen Fehler finden, oder eine bessere Möglichkeit sehen, dann würde ich mich über einen Kommentar sehr freuen.

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