Automatisierungstechnik

Logische Verknüpfungen

Variablen

Logische Verknüpfungen verknüpfen Abfragen zu den Wahrheitswerten WAHR oder FALSCH. In der Digitaltechnik kann eine Variable nur die Werte 0 oder 1 haben.

  • 0 = FALSCH (Bedingung nicht erfüllt)
  • 1 = WAHR (Bedingung erfüllt)

Algebraische Formelsymbole

Konjunktion: A UND BWAHR wenn A UND B WAHR
Disjunktion: A ODER BWAHR wenn A ODER B WAHR
Implikation: WENN A DANN BWAHR wenn aus A B folgt
¬Negation: NICHT AWAHR wenn A FALSCH ist oder umgekehrt
Äquivalenz: GENAU BWAHR wenn A UND B den selben Wahrheitswert haben
Antivalenz: A Exklusiv ODER BWAHR wenn entweder A ODER B WAHR sind, aber nicht beides
Shefferfunktion: NICHT (A UND B)∧ oder ∨
Peircfunktion: NICHT (A ODER B)Weder A noch B

Verknüpfungen

In der Digitaltechnik gibt es drei logische Grundverknüpfungen.

  • NICHT
  • UND
  • ODER

Die Grundfunktionen können zu anderen Funktionen kombiniert werden. Es folgt eine Übersicht der gängigsten Funktionen.

Negation (NICHT-NOT) ¬

Wahrheitstabelle
AZ
01
10

Die Ausgabevariable ist WAHR wenn die Eingabevariable FALSCH ist.

Konjunktion (UND-AND) ∧

Wahrheitstabelle
A BZ
000
010
100
111

Die Ausgabevariable ist nur dann WAHR wenn alle Eingabevariablen WAHR sind.

Disjunktion (ODER-OR) ∨

Wahrheitstabelle
A BZ
000
011
101
111

Die Ausgangsvariable ist dann WAHR wenn eine der Eingangsvariablen WAHR ist.

Antivalenz (Exklusiv ODER-XOR) ⊕

Wahrheitstabelle
A BZ
000
011
101
110

Die Ausgangsvariable ist WAHR wenn eine der Eingangsvariablen WAHR ist aber nicht beide.

Äquivalenz (Exklusiv NICHT ODER-EXNOR) =

Wahrheitstabelle
A BZ
001
010
100
111

Die Ausgangsvariable ist WAHR wenn beide Eingangsvariablen denselben Wahrheitswert haben.

Schefferfunktion (NICHT UND-NAND)

Wahrheitstabelle
A BZ
001
011
101
110

Die Ausgangsvariable ist WAHR wenn eine der Eingangsvariablen nicht WAHR ist.

Peircfunktion (NICHT ODER-NOR)  ↓

Wahrheitstabelle
A BZ
000
010
100
111

Die Ausgangsvariable ist WAHR wenn alle Eingangsvariablen FALSCH sind.

Beispiel Rundtisch

Ein Rundtisch hat einen Einpresszylinder, der von einem Kolben bewegt wird. An dem Tisch befinden sich 3 Taster (SF1, SF2 und SF3). Werden mindestens 2 Taster gleichzeitig bewegt, fährt der Kolben aus. Hat der Zylinder die erforderliche Einpresstiefe erreicht (BG2), fährt der Zylinder wieder zurück. Ein Neustart des Vorgangs kann erst erfolgen, wenn sich der Kolben wieder in der oberen Endstellung befindet (BG1).

Vorüberlegung

Aus dem Text können wir lesen, dass der Vorgang immer dann gestartet werden kann, wenn mindestens zwei Taster (SF1, SF2 und SF3) gleichzeitig betätigt werden und der Kolben (BG1) sich in der oberen Endstellung befindet. Übersetzt bedeutet dies mindestens zwei Taster und der Kolben müssen den Zustand WAHR haben also eine 1. Dies können wir in eine Wertetabelle eintragen.

ZeileSF1SF2SF3BG1AusgangAlgebraische Gleichung
100000
200010
300100
400110
501000
601010
701100
801111 SF1SF2SF3BG1=K
910000
1010000
1110100
1210111 SF1SF2SF3BG1=L
1311000
1411011 SF1SF2SF3BG1=M
1511100
1611111

Anhand dieser Wertetabelle können wir nun einen Logikplan erstellen.

Es handelt sich hierbei um die Disjunktive Normalform (UND vor ODER). Diese ist sinnvoll, wenn weniger 1 als 0 in der Wertetabelle sind. Wäre es umgekehrt also weniger 0 als 1 dann wäre die Konjunktive Normalform (ODER vor UND) die bessere Wahl.

Beispiel Tankanlage

Für das Füllen einer Tankanlage darf aus maximal zwei Bunkern Treibstoff einlaufen um ein Überladen zu verhindern.

Hinweis: Ich schreibe diesen Artikel als Lernender. Daher ist mein Verfahren vielleicht nicht immer das sauberste. Obwohl dieser Artikel sorgfältig recherchiert und erarbeitet ist übernehme ich keinerlei Haftung für die Richtigkeit der Inhalte. Solltet ihr einen Fehler finden, oder eine bessere Möglichkeit sehen, dann würde ich mich über einen Kommentar sehr freuen.

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