Fachwerke

Fachwerke sind aus verbundenen Stäben zusammengesetzte Tragkonstruktionen, die für Brücken, Krane usw. eingesetzt werden. In der Statik werden grundsätzlich zwei Arten von Fachwerken unterschieden. Statisch bestimmte-  und statisch unbestimmte Fachwerke. Ob ein Fachwerk statisch bestimmt ist oder nicht, lässt sich anhand der folgenden Formel ermitteln.

$s = 2 · k – 3$

Dabei sind s = Anzahl der Stäbe und k = Anzahl der Knoten

Statisch bestimmte Fachwerke

Knotenschnittverfahren

Beim Knotenschnittverfahren werden die Knoten der Reihe nach durchnummeriert (Hier römische Ziffern). Dann nummeriert man die Stäbe (arabische Zahlen). Außerdem werden selbstverständlich noch die gegebenen und gesuchten Kräfte eingetragen, sowie die geometrischen Angaben.

Bei diesem Beispiel kennen wir folgende Werte:

F₁ = 4 kN
F₂ = 2 kN
F₃ = 3 kN
a = 45°
l = 2 m

Zunächst bestimmen wir die Lagerkräfte F_A und F_B. Dazu stellen wir wie gewohnt unser Momentengleichgewicht sowie die Summe aller Y-Kräfte auf. Kräfte in X-Richtung sind keine.

Lagerkräfte

$$\begin{gathered} \Sigma M_{\left(A\right)}=0=–F_1·l –F_2·(2·l) –F_3·(3·l) +F_B·(4·l) \\ \Sigma M_{\left(A\right)}=0=–4·2 –2·4 –3·6 +F_B·8 |+4·2+2·4+3·6 ÷8 \\ {F}_B=\frac{4·2+2·4+3·6}{8} \\ \underline{F_B=4,25} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \Sigma F_Y=0=F_A–F_1–F_2–F_3+F_B \\ \Sigma F_Y=0=F_A–4–2–3+4,25 |+4+2+3–4,25 \\ {F}_A=4+2+3–4,25 \\ \underline{F_A=4,75} \end{gathered}$$

Zuerst legen wir eine Tabelle an und tragen dort alle Stäbe ein. Dies dient der Übersichtlichkeit für die folgenden Berechnungen.

Nun können wir beginnen die einzelnen Knoten freizuschneiden und zu berechnen. Beim Knotenschnittverfahren wird jeder Knoten einzeln freigeschnittem. Es wird davon ausgegangen, dass alle vom Knoten weggehenden Stäbe Zugstäbe sind. Ob sich dies bewahrheitet oder nicht ist am Vorzeichen zu erkennen. Ist es positiv war die Annahme korrekt und es handelt sich um einen Zugstab.

Knoten I

$$\begin{gathered} \Sigma F_Y=0=F_A–F_{S2}\sin \alpha |+F_{S2}sin\alpha \\ {F}_{S2}\sin \alpha = F_A |÷sin\alpha \\ {F}_{S2}= \frac{F_A}{\sin \alpha } \Rightarrow \frac{4,75}{\sin \left(45°\right)} \\ \underline{F_{S2}=6,718 kN} \\ \Sigma F_X=0=F_{S1}+F_{S2}\cos \alpha |–F_{S2}\cos \alpha \\ –F_{S2}\cos \alpha = F_{S1} \Rightarrow –6,718\cos (45°) \\ \underline{F_{S1}=–4,75 kN} \end{gathered}$$