Während man bei der Biegung üblicherweise von Balken oder Trägern spricht, so redet man bei Torsion eher von Stäben.  Torsion ist die Beanspruchung auf Verdrehung um die Stabachse herum.

Torsion

Die Torsion ist dabei linear auf dem Querschnitt verteilt. Dabei erträgt die Mantelfläche die größte Spannung während die Stabachse nicht verformt wird.

Torsion ist abhängig von der Elastizität der Werkstoffe.

  • Bei Normalspannungen σ (Zug, Druck, Biegung) wird diese durch den Elastizitätsmodul E dargestellt. Bei Stahl beträgt er ca. 210.000 N/mm²
  • Bei Schubspannungen τ (Torsion) ist die Kenngröße für die Elastizität der Schubmodul G welcher bei Stahl bei ca. 81.000 N/mm² liegt.

Formelzeichen Torsion

FormelzeichenBezeichnungEinheit
τtTorsionsspannungN/mm²
FtKraftN
lStablängemm
MtTorsionsmomentNmm
Wt – Wppolares Widerstandsmomentmm³
τtzulzulässige TorsionsspannungN/mm²
ν / SFSicherheitszahl (allgemein)
SFSicherheit gegen Fließen
SDSicherheit gegen Dauerbruch
Wperferforderliches polares Widerstandsmomentmm³
τtFTorsionsfließgrenzeN/mm²
τtBTorsionsfestigkeitN/mm²
Mtmaxmaximales TorsionsmomentNmm
derferforderlicher Durchmessermm
φVerdrehwinkel°
rRadiusmm
GSchubmodulN/mm²
Ippolares Flächenmoment 2 Gradesmm4

RM = Roloff Matek
FS = Formelsammlung
TB = Tabellenbuch

Formeln Torsion

Torsionsspannung

τt=MtWp (Für die Mantelfläche)τt=Mt·rIp (Für Radius r)

Widerstandsmoment

Wp=Ipr

Erforderliches Widerstandsmoment

Wperf=Mtmaxτtzul

zulässige Torsionsspannung

τtzul=τtFν (bei zähhen Werkstoffen)τtzul=τtBν (bei spröden Werkstoffen)

Maximales Torsionsmoment

Mtmax=τtzul·Wp

Sicherheitszahl

ν=τtFτt (bei zähen Werkstoffen)ν=τtBτt (bei spröden Werkstoffen)

Verdrehwinkel

φ=τt·lG·r·180°πφ=Mt·lWp·r·G·180°πφ=Mt·lIp·G·180°π

Als Erfahrungswert hat sich 0,25 ° / Meter herausgestellt.

erforderlicher Durchmesser (Bei Kreisquerschnitt)

derf=16·Mtπ·τtzul3

Torsionsmoment

Mt=F·rMt=9550·Pn (Zahlenwertgleichtung)

Drehmoment Mt in Nm
Drehzahl n in min-1
Leistung P in kW

Vollwelle oder Hohlwelle?

Das folgende Beispiel soll zeigen, dass Hohlwellen gegenüber Vollwellen deutliche Vorteile aufweisen. Dafür vergleichen wir zwei Wellen. Eine Vollwelle mit 40 mm Durchmesser und eine Hohlwelle mit einem Außendurchmesser von 70 mm und einem Innendurchmesser von 57 mm. Beide werden mit einem Torsionsmoment Mt = 700 Nm belastet.

Berechnung der Vollwelle

Wir erinnern uns die Formel für die Grundbeanspruchung Torsion ist ähnlich die der Biegung. Nur das Schubspannungen mit τ statt σ angegeben werden und der Index nicht b sondern t it.

τt=MtWt

Jetzt können wir Wt allerdings nicht aus ein einer Tabelle ablesen, da es sich bei Wellen ja nicht um Normteile handelt. Stattdessen setzen wir die Formel für die Berechnung von Wvon zylindrischen Vollprofilen ein. (Siehe Roloff Matek T 11-3)

π16·d3   |einsetzen in Formelτt=Mt·16π·d3τt=700000 Nmm ·16π·(40 mm)3=55,7 N/mm2

Berechnen der Hohlwelle

Hier nutzen wir die selbe Methode, nur dass wir die Formel Wt für zylindrische Hohlprofile nutzen.

π16·D4d4D   |einsetzen in Formelτt=Mt·16·Dπ·(D4d4)τt=700000 Nmm·16·70 mmπ·((70 mm)4(57 mm)4)= 18,55 N/mm2

1. Vergleich

Wir stellen fest, dass die Hohlwelle eine deutlich geringere Spannung aufweist. Aber liegt das nicht nur daran, dass der Durchmesser größer ist und sie mehr Querschnittsfläche hat?

Berechnen der Querschnitte

Vollwelle

A=π·d24A=π·(40 mm)24= 1256 mm2

Hohlwelle

A=π·(D2d2)4A=π·70 mm257 mm24=1297 mm2

2. Vergleich

Vergleichen wir nun die Spannungsunterschiede im Vergleich zu den Unterschieden der Querschnitte.

%AbweichungS=(55,7 N/mm2  18,55 N/mm2)55,7 N/mm²·100% = 66,7 %%AbweichungA=(1297 mm2  1256 mm2)1256 mm²·100% = 3,26 %

Fazit

Bei nur extrem geringen Querschnittabweichungen, kann die Spannung erheblich gesenkt werden. Bei gleichem Gewicht können Hohlwellen größere Drehmomente übertragen bzw. Bei einem gegebenem Drehmoment können Hohlwellen deutlich leichter dimensioniert werden. Dies liegt unter anderem daran, dass die neutrale Faser spannungsfrei ist und die Spannungen vorrangig im Randbereich auftreten.

Beispiel 1: Hebel

Das Bild zeigt die stark vereinfachte Skizze eines Hebels. Dieser ist an der Kontaktstelle eingespannt.

  1. Die erste Aufgabe besteht darin zu überprüfen, ob die Hebelstange d = 25 mm nicht auch aus dünnerem Rundstahl ausgeführt werden kann.
  2. Welcher Durchmesser muss mindestens genommen werden?
  3. Ist das Ergebnis realistisch? Welche Reaktionen würden bei Benutzung des Hebels wahrscheinlich auftreten?
  4. Wie kann das Ergebnis überprüft werden, ohne das ein Experiment durchgeführt werden muss?

1) Zunächst ermitteln wir das Torsionsmoment

Mt=F·l = 200 N · 330 mm = 66000 Nmm

Dann ermitteln wir welche Spannung für das angenommene Material (S235JR) zulässig ist und legen 1,5 als Sicherheitsfaktor fest.

τtzul=τtSchNν=165 Nmm²·1,5=110 N/mm²

Nun benötigen wir den erforderlichen Durchmesser. Dafür formen wir die Grundformel für die Torsionsbeanspruchung etwas um.

τt=MtWp

Für Wp setzen wir die Formel für Wbei Kreisquerschnitten ein. (Roloff Matek T 11-3).

τt=Mt·16π·d3

Diese stellen wir nun nach d um.

τt=Mt·16π·d3  |·(π·d3)τt·π·d3=Mt·16  |÷(τt·π)d3=Mt·16τt·π  |3d=Mt·16τt·π3 = 66000 Nmm · 16 · mm²110 N · π3 =14,51 mm

gewählt: 15 mm

Vergleichen wir nun die beiden Querschnittsflächen.

AV=(25 mm)2·π4 =490,84 mm²AN=(15 mm)2·π4 =176,71 mm²AVAN = 314,13 mm²

Das entspricht einer Materialersparnis von 64 % !

Formänderung

schauen wir uns nun an wie stark sich der Stab verformen würde.

φ=Mt·lIt·G·180°πWir setzen die Formel für das Flächenmoment 2.Grades ein. Alternativ könnte man Itnatürlich auch vorher ausrechnen.It=π32·d4φ=Mt·l·32π·d4·G·180°πφ=66000 Nmm·800 mm· 32 · mm2π·154 mm4·81000 N·180°πφ=7,515°

Um zu sehen wie stark sich die Welle nun in Millimeter verformt rechnen wir die Bogenlänge am Umfang aus.

lB=π·d·φ360°lB=π·15 mm·7,515°360°lB=0,984 mm

Beispiel  2: Hydrantenschlüssel

 

Hier nehmen wir vereinfachend an, dass der Schlüssel durchgehend gleich dick ist. Die Handkraft beträgt je Seite 200 N. Wir entscheiden uns für einen Werkstoff mit der Schwellfestigkeit von 100 N/mm².

Auch hier ermitteln wir zunächst das wirkende Tosionsmoment.

Mt=F·lMt=275 mm · 200 N · 2Mt=110000 Nmm

Nun ermitteln wir wieder die zulässige Torsionsspannung. Dieses mal nehmen wir eine Sicherheit von 3 an.

τtzul=τtSchNντtzul=100 Nmm2·3τtzul=33,33 N/mm²

Nun ermitteln wir den Durchmesser

d=Mt·16τt·π3 = 110000 Nmm · 16 · mm²33,33 N · π3 =25,62 mm

Beispiel 3: Getriebewelle

Eine Getriebewelle aus E295 mit einer Drehzahl von n = 112 min-1 soll in einem Getriebe eine Leistung von P = 3 kW übertragen.

  1. Welcher Wellendurchmesser ist zu wählen, wenn die zulässige Torsionsspannung nicht überschritten werden darf?
  2. Wie groß muss der Wellendurchmesser sein, wenn der Verdrehwinkel φ von 0,25°/m nicht überschritten werden darf?

Hinweis: wir führen hier einen vereinfachten (überschlägigen) Festigkeitsnachweis durch.

Aufgabe 1

Zunächst einmal stellen wir fest, dass die zulässige Torsionsspannung der Quotient aus Festigkeit des Werkstoffes und des Sicherheitsfaktors ν ist. Für den Festigkeitswert nehmen wir τtSchN da die Torsion hier ein schwellender Lastfall ist.

τtzul=τtSchNν (ähnlich RM FS 355)τtzul=2051,5=136,66

halten wir nun die Grundformel für Torsionsbeanspruchung fest. Da wir gegen die zulässige Torsionsspannung rechnen wollen, setzen wir dies so ein.

τt=MtWt τtzul=MtWt (RM FS 31)

Jetzt kennen wir jedoch weder das Torsionsmoment Mt noch das Widerstandsmoment Wt. Da wir jedoch die Drehzahl und die Leistung kennen, können wir uns das Drehmoment anhand dieser Werte errechnen. Es gibt natürlich auch Zahlenwertgleichungen dafür. Ich möchte hier des Verständnisses wegen, aber den langen Weg zeigen.

Mt=P2·π·n (RM FS 115)Mt=3000 Nm · 60 ss ·2·π·112Mt= 255,78 Nm

Für P setzen wir 3000 Nm/s ein ( 1 W = 1 Nm/s). Bei der Drehzahl setzen wir 112 ein. Über dem Bruchstrich 60 s. Die Einheit für die Drehzahl ist ja min-1 . Was 1/min bedeutet und um von Minuten auf Sekunden zu kommen multiplizieren wir mit 60.

Für Wt haben wir ebenfalls keinen Wert, da wir ja den Durchmesser noch nicht kennen. Wir können aber die Formel für die Ermittlung des Widerstandsmoments in die Gleichung einsetzen.

Wt=π16·d3

τtzul=MtWtτtzul=Mt·16π·d3

Jetzt können wir diese Gleichung nach d umstellen.

τtzul=Mt·16π·d3   |·π·d3τtzul·π·d3=Mt·16   |÷τtzul·πd3=Mt·16τtzul·π   |3d=Mt·16τtzul·π3

In diese Gleichung setzen wir nun die Zahlenwerte ein.

d=255780 Nmm·16·mm²136,66 N·π3d=21,2 mm

Jetzt wählen wir anhand DIN 323 den nächst passenden Normdurchmesser.

dgew = 22,4 auch möglich aber sehr knapp, wäre genau 21,2 mm

Aufgabe 2

Jetzt versuchen wir zu ermitteln wie groß der Durchmesser sein müsste, wenn der Verdrehwinkel von 0,25°/m nicht überschritten werden darf. Dabei gehen wir prinzipiell ähnlich vor. Zunächst notieren wir die Grundformel.

φ°=180π·Mt·lG·It

Auch hier setzen wir die Formel für It ein, wie wir es zuvor mit Wt getan haben.

It=π32·d4

einsetzen und Bruch 180/π schon mal ausrechnen um einfacher umstellen zu können.

φ°=57,3°·Mt·l·32G·π·d4

Diese Gleichung können wir nun umstellen.

φ°=57,3°·Mt·l·32G·π·d4   |·G·π·d4φ°·G·π·d4=57,3°·Mt·l·32   |÷(φ°·G·π)d4=57,3°·Mt·l·32φ°·G·π   |4d=57,3°·Mt·l·32φ°·G·π4

Hier setzen wir nun wieder die bekannten Werte ein.

d=57,3°·255780 Nmm·1000 mm·32·mm20,25°·81000 N·π4d=52,11 mmdgew=53 mm

Hier sieht man sehr gut wie stark der erforderliche Durchmesser anwächst, wenn die zulässige Verdrehung eingeschränkt wird. Ob eine Welle sich wie stark verdrehen darf, hängt von den Anforderungen ab.

 

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