Festigkeitslehre Statik

Beanspruchung auf Biegung

Bei der Beanspruchung auf Biegung muss der Querschnitt eine Querkraft Fq und ein Biegemoment Mb übertragen. Das Biegemoment belastet den Querschnitt am stärksten. Es erzeugt die Biegespannung σb.

Formelzeichen

σbBiegespannung [N/mm²]
MbBiegemoment Nmm]
Waxiales Widerstandsmoment [mm³]
σbzulzulässige Biegespannung [N/mm²]
νSicherheitszahl
Werferforderliches axiales Widerstandsmoment [mm³]
σbFBiegefließgrenze [N/mm²]
σbBBiegefestigkeit [N/mm²]
Mbmaxmaximales Biegemoment [Nmm]
derferforderlicher Durchmesser [mm] (bei Kreisquerschnitten)
fDurchbiegung [mm]
σzmaxgrößte Zugspannung [N/mm²]
σdmaxgrößte Druckspannung [N/mm²]
e1,e2Randfaserabstände [mm]
IFlächenmomenträgheitsmoment [mm4]
FKraft [N]
F‘Streckenlast [N/mm]
l, a, bLängenmaße [mm]
EElastizitätsmodul [N/mm²]

Formeln

Biegespannung

Bei der Biegebelastung ist die Biegespannung der Maximalwert.

σb=MbW

maximales Biegemoment

Mbmax=σbzul·W

Erforderliches Widerstandsmoment

Das Widerstandsmoment wird aus dem Querschnitt des Werkstückes ermittelt. Für genormte Stahlprofile liegen die Widerstandsmomente in Form von Tabellenbüchern etc. vor und können abgelesen werden. Für andere Profilformen kann dies rechnerisch ermittelt werden.

Werf=Mbmaxσbzul

Sicherheitszahl

ν=σbFσb   bzw.   ν=σbBσb

zulässige Biegespannung

σbzul=σbFν (bei zähen Werkstoffen)σbzul=σbBν (bei spröden Werkstoffen)

erforderlicher Durchmesser (Kreisquerschnitt)

derf=32·Mbmaxπ·σbzul3

Spannungsverteilung in unsymmetrischen Querschnitten

Größte Zugspannung

σzmax=Mb·e1I

Größte Druckspannung

σdmax=Mb·e2I

Freiträger mit Einzellast

F = 100 N
l = 120 mm

Bei Freiträgern mit Einzellast gilt: Mbmax = F · l (in diesem Fall 120 mm)

Mbmax= F · lMbmax=100 N · 120 mmMbmax=12000 Nmm = 12 Nm

Freiträger mit mehreren Einzellasten

Bei einem Freiträger mit mehreren Einzellasten ist das maximale Biegemoment die Summe aller Momente der Einzellasten.

Mbmax= MB = F1·l1+F2·l2+F3·l3

Stützträger (Kragträger) mit mehreren Einzellasten

Bei Stützträgern mit mehreren Einzellasten wird es langsam etwas komplizierter. Hier genügt es nicht mehr die Momente zu addieren. Für die Berechnung benötigen wir ein Querkraftverlauf bzw. Fq, x-Diagramm.

F1 = 25 kN
F2 = 10 kN
F3 = 20 kN

l = 6 m
l1 = 2,5 m
l= 2 m
l3 = 1 m

Zuerst berechnen wir die Stützkräfte.

ΣMA=0=F1·l1F2·(ll3)+FB·lF3·(l+l2)FB=F1·l1+F2·(ll3)F3·(l+l2)6FB=45,42 kN ΣFY=0=FAF1F2+FBF3FA=F1+F2+F3FBFA=9,583 kN

Anschließend zeichnen wir den Querkraftverlauf. Bei diesem tragen wir z.B. von links nach rechts die Kräfte maßstäblich ein. Wichtig ist die Kraftvektoren nach oben zu zeichnen, wenn die Kraft positiv ist und sie nach unten zu zeichnen, wenn diese negativ ist. Von der ersten Kraft ausgehend ziehen wir rechtwinklig eine Linie, bis diese auf die nächste Kraft trifft. diese zeichnen wir wieder ihrer Kraftrichtung entsprechend ein. Und zwar ausgehend von dem Punkt an dem die rechtwinklige Linie auf die Kraftlinie traf. Dies machen wir bis wir alle Kräfte eingetragen haben.

Vom Nulldurchgang ausgehend nach links oder nach rechts (je nachdem was schneller geht) ermitteln wir die Flächen links vom Nulldurchgang oder rechts vom Nulldurchgang. An dem Nulldurchgang an dem die Summe der ermittelten Flächen größer ist liegt das maximale Biegemoment an.

Mb1Aq1=FA·l1Mb1=23,96 kNmMb2Aq2=F3·l2Mb2=40 kNm

Mb2 ist größer als Mb1 dementsprechend liegt das maximale Biegemoment am Nulldurchgang 2 und beträgt 40 kNm.

Liegen neben einem Nulldurchgang mehrere Flächen an, so sind alle die über der Nulllinie liegen zu addieren und alle die darunter liegen davon zu subtrahieren.

Stützträger (Kragträger) mit Streckenlast

F‘ = 2000 N/m

Zunächst einmal müssen wir die resultierende Kraft FR ermitteln.

FR = F · lFFR = 2000 Nm · 7 mFR = 14000 N

Anschließend errechnen wir die Lagerkräfte.

ΣMA = 0 = FR ·3,5 m  FB ·5 mFB = FR · 3,5 m5 mFB= 9800 N ΣFY = 0 = FA  FR + FBFA = FR  FBFA = 4200 N

Nun zeichnen wir wieder unseren Querkraftverlauf um das maximale Biegemoment zu ermitteln. Eine Besonderheit ist hier, dass wir nach 5 m die dort wirkende Last aus der Streckenlast nach unten gehen müssen. Nach 5 m beträgt diese 10000 N (5 m · 2000 N/m). Nach oben gehen wir dort jedoch wieder nur den Betrag der Kraft FB.

Zum ermitteln der Fläche Aq1 müssen wir eine lineare Gleichung aufstellen, da wir weder einen Winkel, noch die Strecke in der X-Achse kennen. Wir kennen jedoch die Steigung 2000 N/m. Das bedeutet ja, dass auf jeden Meter 2000 N kommen. Nun stellt sich die Frage nach wie vielen Metern beträgt die Kraft 4200 N.

2000 Nm · x = 4200 N   |÷2000x=4200 N2000 Nmx= 2,1 m

Nun können wir die Flächen ausrechnen.

AqI  MbI = FA · x2 = 4410 NmAqII  MbII =F · 2 m · 2 m2 = 4000 NmMbI > MbII  MbI = Mbmax = 4410 Nm 4410 Nm = 4410000 Nmm Werf=MbmaxσzulWerf=4410000 Nmm118 Nmm²Werf=37373 mm³ = 37,37 cm³

In diesem Beispiel gehen wir von den 118 N/mm² aus. Hier würde ein IPE 240 benötigt werden.

Eine Überprüfung in AutoCAD Mechanical bestätigt die Berechnung. Die maximale Durchbiegung beträgt 17 mm, was unter den zulässigen l/300 liegt.

Stützträger mit Mischlast

Freischneideskizze

F1 = 1,5 kN
F2 = 4 kN
F3 = 2 kN
F‘ = 2 kN/m
FR = 2 kN/m · 3 m = 6 kN

Unbekannte Kräfte ermitteln

ΣMA=0=F1·1FR·0,5F2·3,5+FB·4,5F3·6FB=F1·1+FR·0,5+F2·3,5+F3·64,5FB=6,11 kNΣFY=0=F1+FAFRF2+FBF3FA=F1+FR+F2FB+F3FA=7,388 kN

Querkraftverlauf

Anschließend zeichnen wir den Querkraftverlauf. Zunächst gehen wir den Betrag der Kraft F1=1,5 kN nach unten. Wir wissen bereits, aus der Angabe der Streckenlast, dass die Kraft pro Meter 2 kN beträgt.

Nun gehen wir den Betrag der Kraft FA nach oben und setzen den Verkauf der Streckenlast fort. 2 m bleiben noch übrig, also 4 kN.

Danach gehen wir 1,5 m horizontal bis zur Kraft F2, die auch wieder vertikal nach unten zeigt.  1 m bis zu FB die nach oben zeigt und letztlich 1,5 m nach Fdie nun wieder auf der Nulllinie auskommt.

Biegemomente

Jetzt errechnen wir die Flächen um zu ermitteln, wo unser maximales Biegemoment anliegt.

Aq1=1,5 kN ·1 m + 2 kN · 1 m2 = 2,5 kNm

Bei der Fläche Aq2 müssen wir etwas genauer hinsehen, denn die Streckenlast reicht über den Nulldurchgang hinaus. Wir kennen aber die Höhe über dem Nulldurchgang nämlich: 7,388 kN – 1,5 kN – 2kN =3,88 kN und wir kennen ebenso die Steigung durch die Streckenlast, die 2 kN/m ist.  Also die Vertikale ist doppelt so viel wie die Horizontale. Dies funktioniert mit jedem linearen Steigungsverhältnis, wenn auch weniger deutlich. Die Strecke bis zum Nullpunkt ist also 3,88 ÷ 2 = 1,945 m.

Aq2=1,945 m · 3,88 kN2 = 3,773 kNm

Für Aq3 kann die selbe Erkenntnis genutzt werden. Auch wenn wir Aq3 maximal zur Kontrolle brauchen.

Aq3=1 m · (6,11 kN2 kN) + 1,5 m · (6,11 kN  2 kN  4kN)+ (2 m  1,945 m) · (4 kN  3,773 kN) = 4,29 kNm

Und Aq4 ist sowieso simpel.

Aq4= 2 kN · 1,5 m = 3 kNm

maximales Biegemoment

Das maximale Biegemoment liegt an dem Nullpunkt an, wo die Summe der Momente am größten ist. Dazu nehmen wir immer alle Flächen links oder rechts eines Nulldurchganges und addieren diese. Wobei nach unten zeigende Flächen negativ anzusehen sind. Bei den Ergebnissen ignorieren wir das negative Vorzeichen, da es keine negativen Kräfte gibt.

MbIAq1= 2,5 kNm  2,5 kNmMbIIAq2Aq1 = 1,273 kNmMbIIIAq4 = 3 kNmMbmax=MbIII= 3 kNm

erforderliches Widerstandsmoment

wir kennen nun das maximale Biegemoment. Fehlt uns nur noch die zulässige Biegespannung.

σbzul=σbFν

Die Biegefließgrenze σbF beträgt bei Stahl ca. 1,2 · Re also bei S235 ungefähr 282 N/mm² (In der Annahme, dass die Erzeugnisdicke < 16 mm ist). Der Sicherheitsfaktor ν gegen Fließen beträgt bei duktilen Werkstoffen ca. 1,5

σbzul=282 Nmm²·1,5 =188 N/mm² Werf=Mbmaxσbzul=3000000 Nmm188 Nmm²=15957,45 mm³

 

 

 

 

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