Bei der Beanspruchung auf Biegung muss der Querschnitt eine Querkraft Fq und ein Biegemoment Mb übertragen. Das Biegemoment belastet den Querschnitt am stärksten. Es erzeugt die Biegespannung σb.

Formelzeichen

σbBiegespannung [N/mm²]
MbBiegemoment Nmm]
Wbaxiales Widerstandsmoment [mm³]
σbzulzulässige Biegespannung [N/mm²]
νSicherheitszahl
Werferforderliches axiales Widerstandsmoment [mm³]
σbFBiegefließgrenze [N/mm²]
σbBBiegefestigkeit [N/mm²]
Mbmaxmaximales Biegemoment [Nmm]
derferforderlicher Durchmesser [mm](bei Kreisquerschnitten)
fDurchbiegung [mm]
σzmaxgrößte Zugspannung [N/mm²]
σdmaxgrößte Druckspannung [N/mm²]
e1,e2Randfaserabstände [mm]
IFlächenmomenträgheitsmoment [mm4]
FKraft [N]
F‘Streckenlast [N/mm]
l, a, bLängenmaße [mm]
EElastizitätsmodul [N/mm²]

Formeln

Biegespannung

Bei der Biegebelastung ist die Biegespannung der Maximalwert.

σb=MbWb

maximales Biegemoment

Mbmax=σbzul·W

Erforderliches Widerstandsmoment

Das Widerstandsmoment wird aus dem Querschnitt des Werkstückes ermittelt. Für genormte Stahlprofile liegen die Widerstandsmomente in Form von Tabellenbüchern etc. vor und können abgelesen werden. Für andere Profilformen kann dies rechnerisch ermittelt werden.

Werf=Mbmaxσbzul

Sicherheitszahl

ν=σbFσb   bzw.   ν=σbBσb

zulässige Biegespannung

σbzul=σbFν (bei zähen Werkstoffen)σbzul=σbBν (bei spröden Werkstoffen)

erforderlicher Durchmesser (Kreisquerschnitt)

derf=32·Mbmaxπ·σbzul3

Spannungsverteilung in unsymmetrischen Querschnitten

Größte Zugspannung

σzmax=Mb·e1I

Größte Druckspannung

σdmax=Mb·e2I

Methode 1 – Querkraftverlauf

Freiträger mit Einzellast

F = 100 N
l = 120 mm

Bei Freiträgern mit Einzellast gilt: Mbmax = F · l (in diesem Fall 120 mm)

Mbmax= F · lMbmax=100 N · 120 mmMbmax=12000 Nmm = 12 Nm

Freiträger mit mehreren Einzellasten

Bei einem Freiträger mit mehreren Einzellasten ist das maximale Biegemoment die Summe aller Momente der Einzellasten.

Mbmax= MB = F1·l1+F2·l2+F3·l3

Stützträger (Kragträger) mit mehreren Einzellasten

Bei Stützträgern mit mehreren Einzellasten wird es langsam etwas komplizierter. Hier genügt es nicht mehr die Momente zu addieren. Für die Berechnung benötigen wir ein Querkraftverlauf bzw. Fq, x-Diagramm.

F1 = 25 kN
F2 = 10 kN
F3 = 20 kN

l = 6 m
l1 = 2,5 m
l= 2 m
l3 = 1 m

Zuerst berechnen wir die Stützkräfte.

ΣMA=0=F1·l1F2·(ll3)+FB·lF3·(l+l2)FB=F1·l1+F2·(ll3)F3·(l+l2)6FB=45,42 kN ΣFY=0=FAF1F2+FBF3FA=F1+F2+F3FBFA=9,583 kN

Anschließend zeichnen wir den Querkraftverlauf. Bei diesem tragen wir z.B. von links nach rechts die Kräfte maßstäblich ein. Wichtig ist die Kraftvektoren nach oben zu zeichnen, wenn die Kraft positiv ist und sie nach unten zu zeichnen, wenn diese negativ ist. Von der ersten Kraft ausgehend ziehen wir rechtwinklig eine Linie, bis diese auf die nächste Kraft trifft. diese zeichnen wir wieder ihrer Kraftrichtung entsprechend ein. Und zwar ausgehend von dem Punkt an dem die rechtwinklige Linie auf die Kraftlinie traf. Dies machen wir bis wir alle Kräfte eingetragen haben.

Vom Nulldurchgang ausgehend nach links oder nach rechts (je nachdem was schneller geht) ermitteln wir die Flächen links vom Nulldurchgang oder rechts vom Nulldurchgang. An dem Nulldurchgang an dem die Summe der ermittelten Flächen größer ist liegt das maximale Biegemoment an.

Mb1Aq1=FA·l1Mb1=23,96 kNmMb2Aq2=F3·l2Mb2=40 kNm

Mb2 ist größer als Mb1 dementsprechend liegt das maximale Biegemoment am Nulldurchgang 2 und beträgt 40 kNm.

Liegen neben einem Nulldurchgang mehrere Flächen an, so sind alle die über der Nulllinie liegen zu addieren und alle die darunter liegen davon zu subtrahieren.

Stützträger (Kragträger) mit Streckenlast

F‘ = 2000 N/m

Zunächst einmal müssen wir die resultierende Kraft FR ermitteln.

FR = F · lFFR = 2000 Nm · 7 mFR = 14000 N

Anschließend errechnen wir die Lagerkräfte.

ΣMA = 0 = FR ·3,5 m  FB ·5 mFB = FR · 3,5 m5 mFB= 9800 N ΣFY = 0 = FA  FR + FBFA = FR  FBFA = 4200 N

Nun zeichnen wir wieder unseren Querkraftverlauf um das maximale Biegemoment zu ermitteln. Eine Besonderheit ist hier, dass wir nach 5 m die dort wirkende Last aus der Streckenlast nach unten gehen müssen. Nach 5 m beträgt diese 10000 N (5 m · 2000 N/m). Nach oben gehen wir dort jedoch wieder nur den Betrag der Kraft FB.

Zum ermitteln der Fläche Aq1 müssen wir eine lineare Gleichung aufstellen, da wir weder einen Winkel, noch die Strecke in der X-Achse kennen. Wir kennen jedoch die Steigung 2000 N/m. Das bedeutet ja, dass auf jeden Meter 2000 N kommen. Nun stellt sich die Frage nach wie vielen Metern beträgt die Kraft 4200 N.

2000 Nm · x = 4200 N   |÷2000x=4200 N2000 Nmx= 2,1 m

Nun können wir die Flächen ausrechnen.

AqI  MbI = FA · x2 = 4410 NmAqII  MbII =F · 2 m · 2 m2 = 4000 NmMbI > MbII  MbI = Mbmax = 4410 Nm 4410 Nm = 4410000 Nmm Werf=MbmaxσzulWerf=4410000 Nmm118 Nmm²Werf=37373 mm³ = 37,37 cm³

In diesem Beispiel gehen wir von den 118 N/mm² aus. Hier würde ein IPE 240 benötigt werden.

Eine Überprüfung in AutoCAD Mechanical bestätigt die Berechnung. Die maximale Durchbiegung beträgt 17 mm, was unter den zulässigen l/300 liegt.

Stützträger mit Mischlast

Freischneideskizze

F1 = 1,5 kN
F2 = 4 kN
F3 = 2 kN
F‘ = 2 kN/m
FR = 2 kN/m · 3 m = 6 kN

Unbekannte Kräfte ermitteln

ΣMA=0=F1·1FR·0,5F2·3,5+FB·4,5F3·6FB=F1·1+FR·0,5+F2·3,5+F3·64,5FB=6,11 kNΣFY=0=F1+FAFRF2+FBF3FA=F1+FR+F2FB+F3FA=7,388 kN

Querkraftverlauf

Anschließend zeichnen wir den Querkraftverlauf. Zunächst gehen wir den Betrag der Kraft F1=1,5 kN nach unten. Wir wissen bereits, aus der Angabe der Streckenlast, dass die Kraft pro Meter 2 kN beträgt.

Nun gehen wir den Betrag der Kraft FA nach oben und setzen den Verkauf der Streckenlast fort. 2 m bleiben noch übrig, also 4 kN.

Danach gehen wir 1,5 m horizontal bis zur Kraft F2, die auch wieder vertikal nach unten zeigt.  1 m bis zu FB die nach oben zeigt und letztlich 1,5 m nach Fdie nun wieder auf der Nulllinie auskommt.

Biegemomente

Jetzt errechnen wir die Flächen um zu ermitteln, wo unser maximales Biegemoment anliegt.

Aq1=1,5 kN ·1 m + 2 kN · 1 m2 = 2,5 kNm

Bei der Fläche Aq2 müssen wir etwas genauer hinsehen, denn die Streckenlast reicht über den Nulldurchgang hinaus. Wir kennen aber die Höhe über dem Nulldurchgang nämlich: 7,388 kN – 1,5 kN – 2kN =3,88 kN und wir kennen ebenso die Steigung durch die Streckenlast, die 2 kN/m ist.  Also die Vertikale ist doppelt so viel wie die Horizontale. Dies funktioniert mit jedem linearen Steigungsverhältnis, wenn auch weniger deutlich. Die Strecke bis zum Nullpunkt ist also 3,88 ÷ 2 = 1,945 m.

Aq2=1,945 m · 3,88 kN2 = 3,773 kNm

Für Aq3 kann die selbe Erkenntnis genutzt werden. Auch wenn wir Aq3 maximal zur Kontrolle brauchen.

Aq3=1 m · (6,11 kN2 kN) + 1,5 m · (6,11 kN  2 kN  4kN)+ (2 m  1,945 m) · (4 kN  3,773 kN) = 4,29 kNm

Und Aq4 ist sowieso simpel.

Aq4= 2 kN · 1,5 m = 3 kNm

maximales Biegemoment

Das maximale Biegemoment liegt an dem Nullpunkt an, wo die Summe der Momente am größten ist. Dazu nehmen wir immer alle Flächen links oder rechts eines Nulldurchganges und addieren diese. Wobei nach unten zeigende Flächen negativ anzusehen sind. Bei den Ergebnissen ignorieren wir das negative Vorzeichen, da es keine negativen Kräfte gibt.

MbIAq1= 2,5 kNm  2,5 kNmMbIIAq2Aq1 = 1,273 kNmMbIIIAq4 = 3 kNmMbmax=MbIII= 3 kNm

erforderliches Widerstandsmoment

wir kennen nun das maximale Biegemoment. Fehlt uns nur noch die zulässige Biegespannung.

σbzul=σbFν

Die Biegefließgrenze σbF beträgt bei Stahl ca. 1,2 · Re also bei S235 ungefähr 282 N/mm² (In der Annahme, dass die Erzeugnisdicke < 16 mm ist). Der Sicherheitsfaktor ν gegen Fließen beträgt bei duktilen Werkstoffen ca. 1,5

σbzul=282 Nmm²·1,5 =188 N/mm² Werf=Mbmaxσbzul=3000000 Nmm188 Nmm²=15957,45 mm³

Methode 2 – Schnittgrößen

Bei dieser Methode geht man grundsätzlich erst einmal genauso vor, dass die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt und die Lagerkräfte ermittelt werden.

Stützträger mit zwei Einzellasten

Länge = 12 m
FSt = 2200 N bei 4,5 m
FV = 1700 N bei 1,7 m

Freikörperbild erstellen

Gleichgewichtsbedingungen aufstellen

ΣMA=0=FSt · 4500 mm  FV · 6700 mm + FB · 12000 mmumstellen nach FBFB=FSt · 4500 mm + FV · 6700 mm12000 mmFB=1774,17 N

Wir können jetzt entweder noch ein Kräftegleichgewicht in Y Achse aufstellen, oder noch ein Momentengleichgewicht um den Punkt B.

ΣMB=0= FV · 5300 mm + FSt · 7500 mm  FA · 12000 mmumstellen nach FA FA=FV · 5300 mm + FSt · 7500 mm12000 mmFA= 2125,83 N

Schnittgrößen ermitteln

In der zuvor gezeigten Methode würden wir nun den Querkraftverlauf zeichnen. Anstelle dessen ermitteln wir nun Schnittgrößen. Zu diesem Zweck teilen wir den Träger an der Stelle einer Kraft auf. Die beiden dadurch entstandenen Seiten des Trägers werden Schnittufer genannt.

Schnittpunkt 1

Jetzt legen wir den Schnittpunkt jeweils als neuen Drehpunkt für unsere Momentengleichung fest.

Dies hat nichts mehr mit dem Standard Koordinatensystem aus unserer Freischneideskizze zu tun!

Wir brauchen jedoch nur ein Schnittufer ausrechnen, je nachdem welches schneller geht. Die Summe aller Momente ist 0, sonst hätten wir kein statisches System, welches sich im Gleichgewicht befindet.

Wir legen weiterhin die positive Drehrichtung so fest, als würde der Träger an der geschnittenen Stelle nach unten fallen.

Das am Schnittpunkt anliegende Moment ist unser Biegemoment an dieser Stelle.

Mb1=FA · 4500 mmMb1 = 9566,24 Nm

Schnittpunkt 2

Das selbe Prinzip wenden wir nun bei der zweiten Schnittstelle an. (Es wird an jeder Kraft geschnitten, außer an den äußersten).

Würden wir hier die linke Seite wählen, so wären zwei Momente zu berechnen. MA und MSt die Beträge müssten dann addiert werden.

Biegemomentenverlauf / Biegelinie

Um den Verlauf der Biegemomente zu visualisieren kann ein Biegemomentenverlauf gezeichnet werden. Dieser ist bei unserem Beispiel hier natürlich sehr übersichtlich.

Dazu tragen wir die X-Achse unsere Balkens ein und belegen die Y-Achse mit dem Wert der Biegemomente.

unmaßstäblich

Unter dem Biegemomentenverlauf ist zusätzlich noch die Biegelinie eingezeichnet.

zulässige Biegespannung

Wir legen einen Sicherheitsfaktor v von 1,5 fest. Der Festigkeitskennwert ist die Streckgrenze ReN. (Bei statischer Belastung)

Bei wechselnd/normaler Biegebelastung wäre das σbWN anstelle von ReN

σbzul=σbWNν

Beispiel Welle: Dreht sich eine Welle > 180° um die eigene Achse, so wirken die Kräfte wechselnd auf die Welle.

Bei schwellend/normaler Biegebelastung wäre das σbSchN

σbzul=σbSchNν

Beispiel Welle: Dreht sich eine Welle < 180° um die eigene Achse, so wirken die Kräfte wechselnd auf die Welle.

σbzul=ReNνσbzul=235 Nmm2 · 1,5σbzul=156,67 N/mm²

Dimensionierung

Jetzt kommen wir zu dem Teil, warum wir das Ganze überhaupt machen. Wir wollen wissen, welchen Träger wir benötigen. In unserem Beispiel soll es aus konstruktiven Gründen ein flach liegendes U-Profil sein.

Erforderliches Widerstandsmoment

Wberf=Mbmaxσbzul=9566240 Nmm · mm² 156,67 NWberf=61,059,81 mm³  61,06 cm³

Ein flach liegendes U-Profil wird um die Y-Achse gebogen.

Dies entspricht dem Wert Wy im Roloff Matek Tabellenbuch. Wir würden also einen U 300 benötigen.

vorhandene Sicherheit

Zum Schluss schauen wir noch, ob wir die geforderte Sicherheit von 1,5 eingehalten haben. Dafür benötigen wir zuvor noch die vorhandene Biegespannung σbvorh.

σbvorh=MbmaxWbvorh=9566240 Nmm67800 mm³σbvorh=141,09 N/mm²νvorh=σbσbvorhReNσbvorh=235 N · mm²mm²·141,09 Nνvorh=1,67  ausreichend!

 

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