Berechnung von Zahnradgetrieben

Bei der Berechnung von Zahnradgetrieben sollte man mit der grundsätzlichen Geometrie von Zahnrädern vertraut sein. Auch die Grundlagen von Zahnradgetrieben sind hilfreich.

Formelzeichen – Berechnung von Zahnradgetrieben

Formelzeichen	Bezeichnung	Einheit
P	Leistung	kW, W, Nm/s
z	Anzahl der Zähne	–
i	Übersetzungsverhältnis	–
m	Modul	–
M	Drehmoment	Nm
M_b	Biegemoment	Nm
M_V	Vergleichsmoment	Nm
d	Teilkreisdurchmesser	mm
F_t	Tangentialkraft / Umfangskraft	N
F_r	Radialkraft	N
σ_{b zul}	zulässige Biegespannung	N/mm²

Formeln

Drehmoment

$M=F\cdot r=\frac{P}{2\cdot\pi\cdot n}$

Tangentialkraft / Umfangskraft

$F=\frac{P}{\nu}=\frac{P}{\pi \cdot d \cdot n}=\frac{M}{r}$

Teilkreisdurchmesser

$d=m\cdot z$

Übersetzung

$i=\frac{\omega _{1}}{\omega _{2}}=\frac{n _{1}}{n _{2}}=\frac{d _{2}}{d _{1}}=\frac{z _{2}}{z _{1}}$

Beispiel 1 – zweistufiges Stirnradgetriebe

Dieses Beispiel wird auch im Böge Aufgabenbuch behandelt. Das zweistufige Stirnradgetriebe hat 4 geradverzahnte Zahnräder und wird mit einem Elektromotor angetrieben, der eine Ausgangsleistung von 4 kW bei 960 min^-1aufweist. Folgende Werte sind bekannt:

z₁ = 19, z₃ = 25, i₁ = 3,2, i₂ = 2,8, m_1/2 = 6 mm, m_3/4= 8 mm, Eingriffswinkel α = 20°

Gesucht sind folgende Werte:

Drehmoment M₁
Teilkreisdurchmesser d₁
Zähnezahl z₂
Tangentialkraft F_T1
Radialkraft F_R1
Lagerkräfte F_A und F_B
maximales Biegemoment M_{bI max}
Vergleichsmoment M_V1
erforderlicher Wellendurchmesser d_I (σ_bzul = 50 N/mm²)
Drehmoment M_II
Teilkreisdurchmesser d₂, d₃
Zähnezahl z₄, Teilkreisdurchmesser d₄
Tangentialkraft F_T3, Radialkraft F_R3
Lagerkräfte F_C und F_D
maximales Biegemoment M_{bII max}
Vergleichsmoment M_VII
Wellendurchmesser d_II (σ_bzul= 50 N/mm²)

1 Drehmoment M₁

Das Drehmoment können wir anhand der Leistung und der Umfangsgeschwindigkeit ermitteln.

$F=\frac{P}{v}=\frac{P}{\pi\cdot d \cdot n}$ [F 16-41]

zunächst stellen wir Gleichung nach P um

$F=\frac{P}{\pi\cdot d \cdot n} \;|\cdot\pi\cdot d\cdot n$

$P=F\cdot \pi \cdot d\cdot n$

Für d setzen wir 2r ein, da das Drehmoment Kraft · Länge des Hebelarms ist und dieser ist bei zylinderförmigen Bauteilen der Radius.

$P=F\cdot \pi \cdot 2\cdot r\cdot n$

Wir finden nun in der Gleichung die Formel für das Drehmoment M=F·r wieder und können es einsetzen. F und r fallen also raus und M wird eingesetzt.

$P={\color{DarkGreen} M}\cdot\cancel{{\color{DarkRed} F}}\cdot \pi \cdot 2\cdot \cancel{{\color{DarkRed} r}}\cdot n$

und nochmal in schön.

$P=M\cdot\pi \cdot 2\cdot n$

Diese Gleichung können wir nun nach M umstellen.

$P=M\cdot\pi \cdot 2\cdot n \;|\div(\pi\cdot 2\cdot n)$

$M_{1}=\frac{P}{2\cdot \pi\cdot n_{1}}$

Nun können wir einsetzen.

$M_{1}=\frac{4000 \;Nm\cdot 60\;s}{s\cdot 2\cdot \pi\cdot 960}= \underline{\underline{39,79 \;Nm}}$

2 Teilkreisdurchmesser d₁

Der Teilkreisdurchmesser ist das Produkt aus Zähnezahl und Modul

$d_{1}=m_{1/2}\cdot z_{1}$

$d_{1}=6 \;mm\cdot 19=\underline{\underline{114\;mm}}$

3 Zähnezahl z₂

z₂ können wir anhand von z₁ und dem Übersetzungsverhältnis i₁ ermitteln

$i=\frac{z_{2}}{z_{1}}\;|\cdot z_{1}$

$z_{2}=i\cdot z_{1}$

$z_{2}=3,2\cdot 19=\underline{60,8}$

Wir wählen nach [TB 1-16] den nächstliegenden Wert, um das Übersetzungsverhältnis so wenig wie möglich zu verfälschen. Wir beachten dabei auch die Grenzzähnezahl von 17 [F 21-16]. Liegen aber weit darüber.

$z_{2gew}=\underline{\underline{60}}$

4 Tangentialkraft F_T1

Die Tangentialkraft ist die Umfangskraft an der Welle also der Quotient aus Drehmoment und dem Radius.

$F_{t1}=\frac{M_{1}}{r_{1}}$

$r_{1}=\frac{d_{1}}{2}=\frac{114\;mm}{2}=57\;mm$

$F_{t1}=\frac{39,79 \;Nm}{57\cdot 10^{-3\;}\;m}=\underline{\underline{698,07\;N}}$

5 Radialkraft F_r₁

Aufgrund der Zahnflankenform ergibt sich am Zahn ein Eingriffswinkel α von 20° durch diese „Schrägstellung“ wird die Tangentilakraft teilweise in eine Radialkraft aufgeteilt. Dies bedeutet aber auch, dass an der Welle ein zweiachsiger Spannungszustand herrscht.

$F_{r}=tan(\alpha)\cdot F_{t}$

$F_{r}=tan(20\degree)\cdot 698,07 N =\underline{\underline{254,08\;N}}$

6. Lagerkräfte F_A und F_B

Wie bereits erwähnt herrscht nun an der Welle ein zweiachsiger Spannungszustand, um dies zu visualisieren, gibt es mehrere Möglichkeiten. Man kann sich einen zweidimensionalen Getriebeplan aufzeichnen und dann die Welle einmal vertikal und einmal horizontal freischneiden. Oder man zeichnet die Welle perspektivisch auf. Die Rechnung bleibt die Gleiche.

Dimetrische Darstellung

Getriebeplan

In welcher Richtung man das Drehmoment annimmt spielt keine Rolle. Nur die Indizes der Tangential- und Radialkräfte sollte dazu passen.

Freikörperbild Welle 1 vertikal

Nun können wir die Lagerkräfte berechnen. Wie das genau geht, habe ich im verlinkten Beitrag schon beschrieben.

$\circlearrowleft\Sigma M_{Ay}=0=-F_{r1}\cdot 100\;mm\;+\;F_{By}\cdot 300\;mm$

$F_{By}=\frac{F_{r1}\cdot 100\;mm}{300\;mm}=\frac{254,08\;N\cdot 100\;mm}{300\;mm}$

$F_{By}=84,69\;N$

$\circlearrowleft\Sigma M_{By}=0=F_{r1}\cdot 200\;mm\;+\;-F_{Ay}\cdot 300\;mm$

$F_{Ay}=\frac{F_{r1}\cdot 200\;mm}{300\;mm}=\frac{254,08\;N\cdot 200\;mm}{300\;mm}$

$F_{Ay}=169,39\;N$

Freikörperbild Welle 1 horizontal

$\circlearrowleft\Sigma M_{Ax}=0=-F_{t1}\cdot 100\;mm\;+\;F_{Bx}\cdot 300\;mm$

$F_{Bx}=\frac{F_{t1}\cdot 100\;mm}{300\;mm}=\frac{698,07\;N\cdot 100\;mm}{300\;mm}$

$F_{Bx}=232,69\;N$

$\circlearrowleft\Sigma M_{Bx}=0=F_{t1}\cdot 200\;mm\;+\;-F_{Ax}\cdot 300\;mm$

$F_{Ax}=\frac{F_{t1}\cdot 200\;mm}{300\;mm}=\frac{698,07\;N\cdot 200\;mm}{300\;mm}$

$F_{Ax}=465,38\;N$

resultierende Kräfte

$F_{Ares}=\sqrt{F_{Ax}\;^2+F_{Ay}\;^2}$

$F_{Ares}=\sqrt{\left (465,38\;N\right )^2+(169,39\;N)^2}$

$F_{Ares}=495,25\;N$

$F_{Bres}=\sqrt{F_{Bx}\;^2+F_{By}\;^2}$

$F_{Bres}=\sqrt{\left (232,69\;N\right )^2+(84,69\;N)^2}$

$F_{Bres}=247,62\;N$

7. maximales Biegemoment Welle I

Nun können wir mit den resultierenden Lagerkräften das maximale Biegemoment ermitteln. Dafür betrachten wir nur die Tangentialkräfte und die Lagerkräfte. Die Radialkräfte berücksichtigen wir bei der Torsion.

$M_{b\textcircled1}=F_{Ares}\cdot 100\;mm=495,25\;N\cdot 100\;mm=\underline{\underline{49,53\;Nm}}$

8. Vergleichsmoment Welle I

$M_{VI}=\sqrt{M_{bI}\;^2+0,75(\alpha_{0} \cdot M_{tI})^2}$

Das Anstrengungsverhältnis α₀ beträgt 0,7 nach [F 3-7]. Das Torsionsmoment entspricht dem Drehmoment aus Aufgabe 1.

$M_{VI}=\sqrt{(49,53\;Nm)\;^2+0,75(0,7 \cdot 39,79\;Nm)^2}$

$M_{VI}=\underline{\underline{55,09\;Nm}}$

9. Durchmesser Welle I

Hier ist die zulässige Spannung mit 50 N/mm² bereits gegeben. Normalerweise ist das nicht der Fall. Außerdem sieht die Aufgabe vor, dass die komplette Welle nur einen Durchmesser hat. Deshalb haben wir auch nur ein Biegemoment ermittelt.

$\sigma _{bzul}=\frac{M_{b}}{W_{b}}=\frac{M_{b}\cdot 32}{\pi\cdot d^3}$

nach d umgestellt. M_v für M_b

$d=\sqrt[3]{\frac{M_{v}\cdot 32}{\sigma_{bzul}\cdot\pi}}$

$d=\sqrt[3]{\frac{55090\;Nmm\cdot 32\cdot mm^2}{50\;N\cdot\pi}}$

$d_{1}=22,39\;mm$

$d_{1gew}=\underline{\underline{22,4\;mm}} \;[TB \;1-16]$

10. Drehmoment Welle II

Das Drehmoment können wir über die Übersetzung anhand von z₁ und z₂ermitteln.

$i=\frac{z_{2}}{z_{1}}\Rightarrow z_{2}=z_{1}\cdot i=19\cdot 3,2=60,8$

$z_{2gew}=60 \;[TB\;1-16]$

$M_{TII}=M_{TI}\cdot\frac{z_{1}}{z_{2}}=39,79\;Nm\cdot\frac{60}{19}=\underline{\underline{125,66\;Nm}}$

11. Teilkreisdurchmesser d₂ und d₃

$d_{2}=z\cdot m=60\cdot 6\;mm=\underline{\underline{360\;mm}}$

$d_{3}=z\cdot m=25\cdot 8\;mm=\underline{\underline{200\;mm}}$

12. Zähnezahl z₄ und Durchmesser d₄

$z_{4}=i\cdot z_{3}=2,8\cdot 25=70$

$z_{4gew}=71 [TB \;1-16]$

$d_{4}=z\cdot m=71\cdot 8\;mm=568\;mm$

Achtung! Der Durchmesser darf nicht noch einmal angepasst werden, da er das Produkt aus Modul und Zähnezahl ist, sonst hätten wir wieder eine ungerade Zähnezahl.

13. Tangentialkraft F_t3 und Radialkraft F_r3

$F_{t3}=\frac{M_{tII}}{r_{3}}=\frac{125660\;Nmm}{100\;mm}=\underline{\underline{1256,6\;N}}$

$F_{r3}=tan(20\degree)\cdot 1256,6 \;N =\underline{\underline{457,36\;N}}$

14. Lagerkräfte für Lager C und D

Dieses Mal hat unser Getriebeplan zwei Zahnradpaare zu berücksichtigen.

Auf der Welle II befinden sich Zahnrad 2 und 3. Das bedeutet wir beziehen alle Kräfte mit dem Index 2 und 3 in unsere Freikörperbilder mit ein.

$\Sigma M_{Cy}\circlearrowleft=0=F_{r2}\cdot 100\;mm-F_{r3}\cdot 200\;mm + F_{Dy}\cdot 300\;mm$

$F_{Dy}=\frac{-F_{r2}\cdot 100\;mm+F_{r3}\cdot 200\;mm}{300\;mm}$

$F_{Dy}=\underline{\underline{220,21\;N}}$

$\Sigma M_{Dy}\circlearrowleft=0=F_{r3}\cdot 100\;mm-F_{r2}\cdot 200\;mm - F_{Cy}\cdot 300\;mm$

$F_{Cy}=\frac{F_{r3}\cdot 100\;mm-F_{r2}\cdot 200\;mm}{300\;mm}$

$F_{Cy}=\underline{\underline{-16,93\;N}}$

Negatives Vorzeichen kann ignoriert werden.

$\Sigma M_{Cx}\circlearrowleft=0=-F_{t2}\cdot 100\;mm-F_{t3}\cdot 200\;mm + F_{Dx}\cdot 300\;mm$

$F_{Dx}=\frac{F_{t2}\cdot 100\;mm+F_{t3}\cdot 200\;mm}{300\;mm}$

$F_{Dx}=\underline{\underline{1070,42\;N}}$

$\Sigma M_{Dx}\circlearrowleft=0=F_{t2}\cdot 100\;mm+F_{t3}\cdot 200\;mm - F_{Cx}\cdot 300\;mm$

$F_{Cx}=\frac{F_{t2}\cdot 200\;mm+F_{t3}\cdot 100\;mm}{300\;mm}$

$F_{Cx}=\underline{\underline{884,2\;N}}$

resultierende Kräfte

$F_{Cres}=\sqrt{F_{Cx}\;^2+F_{Cy}\;^2}$

$F_{Cres}=\sqrt{\left (884,2\;N\right )^2+(16,93\;N)^2}$

$F_{Cres}=\underline{\underline{884,36\;N}}$

$F_{Dres}=\sqrt{F_{Dx}\;^2+F_{Dy}\;^2}$

$F_{Dres}=\sqrt{\left (1070,42\;N\right )^2+(220,21\;N)^2}$

$F_{Dres}=\underline{\underline{1092,84\;N}}$

15. maximales Biegemoment Welle II

$M_{b\textcircled1}=F_{Cres}\cdot 100\;mm=884,09\;N\cdot 100\;mm=\underline{\underline{88409\;Nmm}}$

$M_{b\textcircled2}=F_{Dres}\cdot 100\;mm=1092,84\;N\cdot 100\;mm=\underline{\underline{109284\;Nmm}}$

$M_{b\textcircled{2}}=M_{bmax}$

16. Vergleichsmoment Welle II

$M_{VII}=\sqrt{M_{bII}\;^2+0,75(\alpha_{0} \cdot M_{tII})^2}$

Das Anstrengungsverhältnis α₀ beträgt 0,7 nach [F 3-7].

$M_{VII}=\sqrt{(109,2\;Nm)\;^2+0,75(0,7 \cdot 125,66\;Nm)^2}$

$M_{VII}=\underline{\underline{133,15\;Nm}}$

17. Durchmesser Welle II

$d=\sqrt[3]{\frac{M_{v}\cdot 32}{\sigma_{bzul}\cdot\pi}}$

$d=\sqrt[3]{\frac{133150\;Nmm\cdot 32\cdot mm^2}{50\;N\cdot\pi}}$

$d_{2}=30,05\;mm$

$d_{2gew}=\underline{\underline{31,5\;mm}} \;[TB \;1-16]$

Dieser Beitrag hat 2 Kommentare

Mata 7. Februar 2023 Antworten
Hallo Nils,
vielen Dank für deinen Beitrag, hat mir sehr geholfen!
Ich wollte dich fragen, warum man hier keine Gewichtskraft (m*g) der Welle bzw. des Zahnrads berücksichtigt.
Vielen Dank!
Gruß Mata
1. Nils 7. Februar 2023 Antworten
  Hallo Mata,
  es freut mich, dass dir der Beitrag helfen konnte. Du hast natürlich vollkommen recht. Jedoch handelt es sich hier viel eher um ein Anwendungsbeispiel aus meiner Techniker Weiterbildung. Dabei geht es weniger darum zu ermitteln, welche Kräfte wie ins System kommen, sondern eher darum zu sehen, wie man mit diesen umgeht. Ansonsten müssten ja auch Zahnräder ermittelt werden. Die Festigkeitsberechnung der Zahnräder ist auch nicht Teil dieses Beitrags und somit kennen wir die Masse dieser ja auch gar nicht.

Formelzeichen – Berechnung von Zahnradgetrieben

Formeln

Beispiel 1 – zweistufiges Stirnradgetriebe

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Nils Wolf

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