Bei der Berechnung von Zahnradgetrieben sollte man mit der grundsätzlichen Geometrie von Zahnrädern vertraut sein. Auch die Grundlagen von Zahnradgetrieben sind hilfreich.

Formelzeichen – Berechnung von Zahnradgetrieben

FormelzeichenBezeichnungEinheit
PLeistungkW, W, Nm/s
zAnzahl der Zähne
iÜbersetzungsverhältnis
mModul
MDrehmomentNm
MbBiegemomentNm
MVVergleichsmomentNm
dTeilkreisdurchmessermm
FtTangentialkraft / UmfangskraftN
FrRadialkraftN
σb zulzulässige BiegespannungN/mm²

Formeln

Drehmoment

M=F\cdot r=\frac{P}{2\cdot\pi\cdot n}

Tangentialkraft / Umfangskraft

F=\frac{P}{\nu}=\frac{P}{\pi \cdot d \cdot n}=\frac{M}{r}

Teilkreisdurchmesser

d=m\cdot z

Übersetzung

i=\frac{\omega _{1}}{\omega _{2}}=\frac{n _{1}}{n _{2}}=\frac{d _{2}}{d _{1}}=\frac{z _{2}}{z _{1}}

Beispiel 1 – zweistufiges Stirnradgetriebe

Dieses Beispiel wird auch im Böge Aufgabenbuch behandelt. Das zweistufige Stirnradgetriebe hat 4 geradverzahnte Zahnräder und wird mit einem Elektromotor angetrieben, der eine Ausgangsleistung von 4 kW bei 960 min-1 aufweist. Folgende Werte sind bekannt:

z1 = 19, z3 = 25, i1 = 3,2, i2 = 2,8, m1/2 = 6 mm, m3/4= 8 mm, Eingriffswinkel α = 20°

Berechnung von Zahnradgetrieben

Gesucht sind folgende Werte:

  1. Drehmoment M
  2. Teilkreisdurchmesser d1
  3. Zähnezahl z2
  4. Tangentialkraft FT1
  5. Radialkraft FR1
  6. Lagerkräfte FA und FB
  7. maximales Biegemoment MbI max
  8. Vergleichsmoment MV1
  9. erforderlicher Wellendurchmesser dIbzul = 50 N/mm²)
  10. Drehmoment MII
  11. Teilkreisdurchmesser d2, d3
  12. Zähnezahl z4, Teilkreisdurchmesser d4
  13. Tangentialkraft FT3, Radialkraft FR3
  14. Lagerkräfte FC und FD
  15. maximales Biegemoment MbII max
  16. Vergleichsmoment MVII
  17. Wellendurchmesser dIIbzul = 50 N/mm²)

1 Drehmoment M1

Das Drehmoment können wir anhand der Leistung und der Umfangsgeschwindigkeit ermitteln.

F=\frac{P}{v}=\frac{P}{\pi\cdot d \cdot n} [F 16-41]

zunächst stellen wir Gleichung nach P um

F=\frac{P}{\pi\cdot d \cdot n} \;|\cdot\pi\cdot d\cdot n

P=F\cdot \pi \cdot d\cdot n

Für d setzen wir 2r ein, da das Drehmoment Kraft · Länge des Hebelarms ist und dieser ist bei zylinderförmigen Bauteilen der Radius.

P=F\cdot \pi \cdot 2\cdot r\cdot n

Wir finden nun in der Gleichung die Formel für das Drehmoment M=F·r wieder und können es einsetzen. F und r fallen also raus und M wird eingesetzt.

P={\color{DarkGreen} M}\cdot\cancel{{\color{DarkRed} F}}\cdot \pi \cdot 2\cdot \cancel{{\color{DarkRed} r}}\cdot n

und nochmal in schön.

P=M\cdot\pi \cdot 2\cdot n

Diese Gleichung können wir nun nach M umstellen.

P=M\cdot\pi \cdot 2\cdot n \;|\div(\pi\cdot 2\cdot n)

M_{1}=\frac{P}{2\cdot \pi\cdot n_{1}}

Nun können wir einsetzen.

M_{1}=\frac{4000 \;Nm\cdot 60\;s}{s\cdot 2\cdot \pi\cdot 960}= \underline{\underline{39,79 \;Nm}}

2 Teilkreisdurchmesser d1

Der Teilkreisdurchmesser ist das Produkt aus Zähnezahl und Modul

d_{1}=m_{1/2}\cdot z_{1}

d_{1}=6 \;mm\cdot 19=\underline{\underline{114\;mm}}

3 Zähnezahl z2

z2 können wir anhand von z1 und dem Übersetzungsverhältnis i1 ermitteln

i=\frac{z_{2}}{z_{1}}\;|\cdot z_{1}

z_{2}=i\cdot z_{1}

z_{2}=3,2\cdot 19=\underline{60,8}

Wir wählen nach [TB 1-16] den nächstliegenden Wert, um das Übersetzungsverhältnis so wenig wie möglich zu verfälschen. Wir beachten dabei auch die Grenzzähnezahl von 17 [F 21-16]. Liegen aber weit darüber.

z_{2gew}=\underline{\underline{60}}

4 Tangentialkraft FT1

Die Tangentialkraft ist die Umfangskraft an der Welle also der Quotient aus Drehmoment und dem Radius.

F_{t1}=\frac{M_{1}}{r_{1}}

r_{1}=\frac{d_{1}}{2}=\frac{114\;mm}{2}=57\;mm

F_{t1}=\frac{39,79 \;Nm}{57\cdot 10^{-3\;}\;m}=\underline{\underline{698,07\;N}}

5 Radialkraft Fr1

Aufgrund der Zahnflankenform ergibt sich am Zahn ein Eingriffswinkel α von 20° durch diese „Schrägstellung“ wird die Tangentilakraft teilweise in eine Radialkraft aufgeteilt. Dies bedeutet aber auch, dass an der Welle ein zweiachsiger Spannungszustand herrscht.

F_{r}=tan(\alpha)\cdot F_{t}

F_{r}=tan(20\degree)\cdot 698,07 N =\underline{\underline{254,08\;N}}

6. Lagerkräfte FA und FB

Wie bereits erwähnt herrscht nun an der Welle ein zweiachsiger Spannungszustand, um dies zu visualisieren, gibt es mehrere Möglichkeiten. Man kann sich einen zweidimensionalen Getriebeplan aufzeichnen und dann die Welle einmal vertikal und einmal horizontal freischneiden. Oder man zeichnet die Welle perspektivisch auf. Die Rechnung bleibt die Gleiche.

Dimetrische Darstellung

Getriebeplan

In welcher Richtung man das Drehmoment annimmt spielt keine Rolle. Nur die Indizes der Tangential- und Radialkräfte sollte dazu passen.

Freikörperbild Welle 1 vertikal

Nun können wir die Lagerkräfte berechnen. Wie das genau geht, habe ich im verlinkten Beitrag schon beschrieben.

\circlearrowleft\Sigma M_{Ay}=0=-F_{r1}\cdot 100\;mm\;+\;F_{By}\cdot 300\;mm

F_{By}=\frac{F_{r1}\cdot 100\;mm}{300\;mm}=\frac{254,08\;N\cdot 100\;mm}{300\;mm}

F_{By}=84,69\;N

\circlearrowleft\Sigma M_{By}=0=F_{r1}\cdot 200\;mm\;+\;-F_{Ay}\cdot 300\;mm

F_{Ay}=\frac{F_{r1}\cdot 200\;mm}{300\;mm}=\frac{254,08\;N\cdot 200\;mm}{300\;mm}

F_{Ay}=169,39\;N

Freikörperbild Welle 1 horizontal

\circlearrowleft\Sigma M_{Ax}=0=-F_{t1}\cdot 100\;mm\;+\;F_{Bx}\cdot 300\;mm

F_{Bx}=\frac{F_{t1}\cdot 100\;mm}{300\;mm}=\frac{698,07\;N\cdot 100\;mm}{300\;mm}

F_{Bx}=232,69\;N

\circlearrowleft\Sigma M_{Bx}=0=F_{t1}\cdot 200\;mm\;+\;-F_{Ax}\cdot 300\;mm

F_{Ax}=\frac{F_{t1}\cdot 200\;mm}{300\;mm}=\frac{698,07\;N\cdot 200\;mm}{300\;mm}

F_{Ax}=465,38\;N

resultierende Kräfte

F_{Ares}=\sqrt{F_{Ax}\;^2+F_{Ay}\;^2}

F_{Ares}=\sqrt{\left (465,38\;N\right )^2+(169,39\;N)^2}

F_{Ares}=495,25\;N

F_{Bres}=\sqrt{F_{Bx}\;^2+F_{By}\;^2}

F_{Bres}=\sqrt{\left (232,69\;N\right )^2+(84,69\;N)^2}

F_{Bres}=247,62\;N

7. maximales Biegemoment Welle I

Nun können wir mit den resultierenden Lagerkräften das maximale Biegemoment ermitteln. Dafür betrachten wir nur die Tangentialkräfte und die Lagerkräfte. Die Radialkräfte berücksichtigen wir bei der Torsion.

M_{b\textcircled1}=F_{Ares}\cdot 100\;mm=495,25\;N\cdot 100\;mm=\underline{\underline{49,53\;Nm}}

8. Vergleichsmoment Welle I

M_{VI}=\sqrt{M_{bI}\;^2+0,75(\alpha_{0} \cdot M_{tI})^2}

Das Anstrengungsverhältnis α0 beträgt 0,7 nach [F 3-7]. Das Torsionsmoment entspricht dem Drehmoment aus Aufgabe 1.

M_{VI}=\sqrt{(49,53\;Nm)\;^2+0,75(0,7 \cdot 39,79\;Nm)^2}

M_{VI}=\underline{\underline{55,09\;Nm}}

9. Durchmesser Welle I

Hier ist die zulässige Spannung mit 50 N/mm² bereits gegeben. Normalerweise ist das nicht der Fall. Außerdem sieht die Aufgabe vor, dass die komplette Welle nur einen Durchmesser hat. Deshalb haben wir auch nur ein Biegemoment ermittelt.

\sigma _{bzul}=\frac{M_{b}}{W_{b}}=\frac{M_{b}\cdot 32}{\pi\cdot d^3}

nach d umgestellt. Mv für Mb

d=\sqrt[3]{\frac{M_{v}\cdot 32}{\sigma_{bzul}\cdot\pi}}

d=\sqrt[3]{\frac{55090\;Nmm\cdot 32\cdot mm^2}{50\;N\cdot\pi}}

d_{1}=22,39\;mm

d_{1gew}=\underline{\underline{22,4\;mm}} \;[TB \;1-16]

10. Drehmoment Welle II

Das Drehmoment können wir über die Übersetzung anhand von z1 und zermitteln.

i=\frac{z_{2}}{z_{1}}\Rightarrow z_{2}=z_{1}\cdot i=19\cdot 3,2=60,8

z_{2gew}=60 \;[TB\;1-16]

M_{TII}=M_{TI}\cdot\frac{z_{1}}{z_{2}}=39,79\;Nm\cdot\frac{60}{19}=\underline{\underline{125,66\;Nm}}

11. Teilkreisdurchmesser d2 und d3

d_{2}=z\cdot m=60\cdot 6\;mm=\underline{\underline{360\;mm}}

d_{3}=z\cdot m=25\cdot 8\;mm=\underline{\underline{200\;mm}}

12. Zähnezahl z4 und Durchmesser d4

z_{4}=i\cdot z_{3}=2,8\cdot 25=70

z_{4gew}=71 [TB \;1-16]

d_{4}=z\cdot m=71\cdot 8\;mm=568\;mm

Achtung! Der Durchmesser darf nicht noch einmal angepasst werden, da er das Produkt aus Modul und Zähnezahl ist, sonst hätten wir wieder eine ungerade Zähnezahl.

13. Tangentialkraft Ft3 und Radialkraft Fr3

F_{t3}=\frac{M_{tII}}{r_{3}}=\frac{125660\;Nmm}{100\;mm}=\underline{\underline{1256,6\;N}}

F_{r3}=tan(20\degree)\cdot 1256,6 \;N =\underline{\underline{457,36\;N}}

14. Lagerkräfte für Lager C und D

Dieses Mal hat unser Getriebeplan zwei Zahnradpaare zu berücksichtigen.

Auf der Welle II befinden sich Zahnrad 2 und 3. Das bedeutet wir beziehen alle Kräfte mit dem Index 2 und 3 in unsere Freikörperbilder mit ein.

\Sigma M_{Cy}\circlearrowleft=0=F_{r2}\cdot 100\;mm-F_{r3}\cdot 200\;mm + F_{Dy}\cdot 300\;mm

F_{Dy}=\frac{-F_{r2}\cdot 100\;mm+F_{r3}\cdot 200\;mm}{300\;mm}

F_{Dy}=\underline{\underline{220,21\;N}}

\Sigma M_{Dy}\circlearrowleft=0=F_{r3}\cdot 100\;mm-F_{r2}\cdot 200\;mm - F_{Cy}\cdot 300\;mm

F_{Cy}=\frac{F_{r3}\cdot 100\;mm-F_{r2}\cdot 200\;mm}{300\;mm}

F_{Cy}=\underline{\underline{-16,93\;N}}

Negatives Vorzeichen kann ignoriert werden.

\Sigma M_{Cx}\circlearrowleft=0=-F_{t2}\cdot 100\;mm-F_{t3}\cdot 200\;mm + F_{Dx}\cdot 300\;mm

F_{Dx}=\frac{F_{t2}\cdot 100\;mm+F_{t3}\cdot 200\;mm}{300\;mm}

F_{Dx}=\underline{\underline{1070,42\;N}}

\Sigma M_{Dx}\circlearrowleft=0=F_{t2}\cdot 100\;mm+F_{t3}\cdot 200\;mm - F_{Cx}\cdot 300\;mm

F_{Cx}=\frac{F_{t2}\cdot 200\;mm+F_{t3}\cdot 100\;mm}{300\;mm}

F_{Cx}=\underline{\underline{884,2\;N}}

resultierende Kräfte

F_{Cres}=\sqrt{F_{Cx}\;^2+F_{Cy}\;^2}

F_{Cres}=\sqrt{\left (884,2\;N\right )^2+(16,93\;N)^2}

F_{Cres}=\underline{\underline{884,36\;N}}

F_{Dres}=\sqrt{F_{Dx}\;^2+F_{Dy}\;^2}

F_{Dres}=\sqrt{\left (1070,42\;N\right )^2+(220,21\;N)^2}

F_{Dres}=\underline{\underline{1092,84\;N}}

15. maximales Biegemoment Welle II

M_{b\textcircled1}=F_{Cres}\cdot 100\;mm=884,09\;N\cdot 100\;mm=\underline{\underline{88409\;Nmm}}

M_{b\textcircled2}=F_{Dres}\cdot 100\;mm=1092,84\;N\cdot 100\;mm=\underline{\underline{109284\;Nmm}}

M_{b\textcircled{2}}=M_{bmax}

16. Vergleichsmoment Welle II

M_{VII}=\sqrt{M_{bII}\;^2+0,75(\alpha_{0} \cdot M_{tII})^2}

Das Anstrengungsverhältnis α0 beträgt 0,7 nach [F 3-7].

M_{VII}=\sqrt{(109,2\;Nm)\;^2+0,75(0,7 \cdot 125,66\;Nm)^2}

M_{VII}=\underline{\underline{133,15\;Nm}}

17. Durchmesser Welle II

d=\sqrt[3]{\frac{M_{v}\cdot 32}{\sigma_{bzul}\cdot\pi}}

d=\sqrt[3]{\frac{133150\;Nmm\cdot 32\cdot mm^2}{50\;N\cdot\pi}}

d_{2}=30,05\;mm

d_{2gew}=\underline{\underline{31,5\;mm}} \;[TB \;1-16]

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