In diesem Beispiel für die Berechnung von Getrieben wird ein Riementrieb von einem Elektromotor angetrieben. Der Riementrieb treibt wiederum ein zweistufiges Zahnradgetriebe an. Die Vorgehensweise basiert dabei auf dem Roloff Matek.

Der Propeller eines Industriegebläses soll mit einem Elektromotor angetrieben werden. Zu ermitteln sind:

  • Die Leistung und Auswahl eines geeigneten Elektromotors
  • Auswahl und Berechnung des Riementriebs
  • Berechnung des Zahnradgetriebes
  • Dimensionierung der Zwischenwelle am Zahnrad 2 und 3 mit dynamischen Festigkeitsnachweis

Berechnung von Getrieben

Weiter sind folgende Randbedingungen zu erfüllen:

  • Betriebstemperatur < 55°C
  • Propellerdrehzahlen sollen möglichst genau erreicht werden.
  • Der Antrieb soll für eine tägliche Nutzungsdauer von 8 h, häufiger Anlauf, Volllast stoßfrei ausgelegt werden.
  • Die Bauelemente müssen dauerhaft chemischen Korrosionseinflüssen widerstehen können.
  • Es sollen möglichst genormte Bauteile zum Einsatz kommen.
  • Die Propellerdrehzahl soll 750 min-1 betragen.
  • Das Antriebsmoment am Propeller beträgt 70 Nm.
  • Es soll ein Motor mit 3000 min-1 eingesetzt werden.

Riementrieb

  • Die maximalen Scheibengrößen dürfen platzbedingt nicht mehr als 250 mm betragen.
  • Die Zielübersetzung beträgt 1,3
  • Wirkungsgrad 82 %
  • geplanter Wellenabstand 350 mm

Zahnradgetriebe

  • zwei Getriebestufen
  • platzsparend (Antriebs- und Abtriebswelle ungefähr auf gleicher Höhe)
  • Zwischenwelle oberhalb Antriebs- Abtriebswelle
  • Wirkungsgrad 90 %
  • gerade verzahnte Stirnräder im Pressverband aufgeschrumpft
  • Übersetzung i1/2 = 1,9
  • Zahnrad 1 z = 20, m = 4 mm
  • Zahnrad 3 z = 20, m = 4 mm
  • Mittenabstand zwischen den Zahnrädern = 200 mm
  • Mittenabstand zu den Gehäuselagern = 90 mm
  • Wellenwerkstoffe; X2CrNiN23-4

Berechnung von Getrieben (Motordimensionierung)

Nettoleistung

P_{Netto}=M\cdot\pi \cdot 2\cdot n

P_{Netto}=\frac{70\;Nm\cdot 2\cdot \pi\cdot 750}{60\;s}=5497,79\;Nm/s

PNetto = 5,5 kW

Anwendungsfaktor KA

KA = 1,75

Bruttoleistung

P_{Brutto}=\frac{P_{Netto}\cdot K_{A}}{\eta _{1}\cdot \eta _{2}}

P_{Brutto}=\frac{5,5\;kW\cdot 1,75}{0,82\cdot 0,9}=13,04\;kW

Motorauswahl

Gewählter Motor 160L-18,5-3000 [16-21]

Berechnung von Getrieben (Riementrieb)

Riementyp- profil

gewählter Riementyp: Schmalkeilriemen (raumsparend)

gewähltes Riemenprofil: SPZ (keine größeren Riemenscheiben zu erwarten)

Scheibendurchmesser

Die erste Riemenscheibe dimensionieren wir anhand der maximal zulässigen Wellenbelastung anhand [TB 16-21]. Werte für Motoren mit 1500 min-1 gibt es nicht. Wir können die Werte aber dennoch annehmen, da mit zunehmender Kraft die Motorenhersteller auch größere Wellen verbauen werden.

F_{t}=\frac{P}{v}=\frac{P}{\pi\cdot d\cdot n}

Die Gleichung stellen wir nach d um.

d_{k}=\frac{P}{F_{t}\cdot \pi\cdot n}

F_{w0}=F_{t}\cdot k \;(1,3...1,5)

F_{t}=\frac{F_{w0}}{k}=\frac{1590\;N}{1,5}=1060\;N

d_{k}=\frac{18500\;Nm\cdot 60\;s}{s\cdot 1060\;N\cdot \pi\cdot 3000}=111\;mm

d_{kgew}=112\;mm \;[1-16]

d_{g}=d_kgew\cdot i=112\;mm\cdot 1,3=145,6\;mm

d_{ggew}=150\;mm[1-16]

Anhand des geplanten Wellenabstandes von 350 mm sehen wir, dass keine Kollision der Riemenscheiben stattfinden wird, wenn wir die Radien addieren.

i_{Rtats}=\frac{d_{ggew}}{d_{kgew}}=\frac{150 \;mm}{112\;mm}=1,339

vorläufiger Wellenabstand

0,7\cdot (d_g+d_k)\leq e'\leq 2\cdot (d_g+d_k)

0,7\cdot (150\;mm+112\;mm)\leq e'\leq 2\cdot (150\;mm\cdot 112\;mm)

183,4\;mm\leq 350\;mm\leq 524\;mm

Der vorläufige Wellenabstand kann wie geplant 350 mm betragen.

Riemenlänge

L'\approx 2\cdot e'+\frac{\pi}{2}\cdot(d_{g}+d_{k})+\frac{(d_{g}-d_{k})^2}{4\cdot e'}

L'\approx 2\cdot 350\;mm+\frac{\pi}{2}\cdot(150\;mm+112\;mm)+\frac{(150\;mm-112\;mm)^2}{4\cdot 350\;mm}

L'\approx 1112,58\;mm

L=1120\;mm\;[1-16]

Wellenabstand

e\approx\frac{L}{4}-\frac{\pi}{8}\cdot(d_{g}+d_{k})+\sqrt{\left [ \frac{L}{4}-\frac{\pi}{8}\cdot (d_{g}+d_{k}) \right ]^2-\frac{(d_g-d_k)^2}{8}}

e\approx\frac{1120\;mm}{4}-\frac{\pi}{8}\cdot(150\;mm+112\;mm)+\sqrt{\left [ \frac{1120\;mm}{4}-\frac{\pi}{8}\cdot (150\;mm+112\;mm) \right ]^2-\frac{(150\;mm-112\;mm)^2}{8}}

e=353,72\;mm

Anzahl der Keilriemen

\beta _k=2\cdot arccos(\frac{d_g\cdot d_k}{2\cdot e})

\beta _k=2\cdot arccos \left (\frac{150\;mm- 112\;mm}{2\cdot 353,72\;mm} \right )=173,84\;\degree

PN=5,5 kW [16-15b]

ÜZ=0,3 [16-16b]

c1=0,98 [16-17a]

c2=0,91 [16-17c]

z\geq \frac{P}{(P_N+\ddot{U}_z)\cdot c_1\cdot c_2}

z\geq \frac{18,5\;kW}{(5,5\;kW+0,3)\cdot 0,98\cdot 0,91}=3,58

z_{gew}=4

Berechnung von Getrieben (Zahnradgetriebe)

Getriebeplan

Getriebeplan

Getriebedaten

Für die Berechnung von Getrieben müssen die Getriebestufen definiert sein.

1. Stufe

zuerst übernehmen wir die bekannten Daten.

z1 = 20 Zähne, m = 4 mm, i1/2= 1,9

Die unbekannten Daten können wir errechnen.

z_{2}=z_1\cdot i_{1/2}=20\cdot 1,9=38

z_{2gew}=40 \;[1-16]

die tatsächlichen Übersetzungsverhältnisse sind wichtig, um die korrekten Drehzahlen bestimmen zu können.

i_{1/2 tats}=\frac{z_{2gew}}{z_1}=\frac{40}{20}=2

2. Stufe

z3 = 20 Zähne, m = 4 mm

Für die zweite Getriebestufe ist kein Übersetzungsverhältnis gegeben. Dieses können wir uns jedoch anhand der Gesamtübersetzung errechnen.

i_{ges}=\frac{n_M}{n_V}=\frac{3000\cdot min}{min\cdot 750}=4

Das Gesamtübersetzungsverhältnis ist das Produkt der einzelnen Übersetzungsverhältnisse.

i_{ges}=i_{Rtats}\cdot i_{1/2tats}\cdot i_{3/4}

Dieses können wir nun nach i3/4 umstellen.

i_{3/4}=\frac{i_{ges}}{i_{1/2}\cdot i_{Rtats}}=\frac{4}{2\cdot 1,34}=1,493

Nun können wir die fehlenden Daten berechnen.

z_{4}=z_3\cdot i_{3/4}=20\cdot 1,493=29,87

z_{4gew}=30 \;[1-16]

Auch hier ermitteln wir wieder das tatsächliche Übersetzungsverhältnis.

i_{3/4 tats}=\frac{z_{4gew}}{z_3}=\frac{30}{20}=1,5

Durchmesser

d_1=z_1\cdot m_{1/2}=20\cdot 4\;mm=80\;mm

d_2=z_2\cdot m_{1/2}=40\cdot 4\;mm=160\;mm

d_3=z_3\cdot m_{3/4}=20\cdot 4\;mm=80\;mm

d_4=z_4\cdot m_{3/4}=30\cdot 4\;mm=120\;mm

Drehmomente

M_{tI}=\frac{P}{2\cdot \pi\cdot n}=\frac{18500 \;Nm\cdot 60\;s}{2\cdot \pi\cdot 3000}=58,89\;Nm

M_{tII}=M_{tI}\cdot i_{Rtat}=58,89\cdot 1,34=78,91\;Nm

M_{tIII}=M_{tII}\cdot i_{1/2tat}=78,91\cdot 2=157,82\;Nm

M_{tIV}=M_{tIII}\cdot i_{3/4tat}=157,82\cdot 1,5=236,73\;Nm

Tangential- Radialkräfte

F_{t1}=F_{t2}=\frac{2\cdot M_{tIII}}{d_2}=\frac{2\cdot 157,82\;Nm}{0,16\;m}=1972,75\;N

F_{r1}=F_{r2}=F_{t1}\cdot tan(20\degree)=718,02\;N

F_{t3}=F_{t4}=\frac{2\cdot M_{tIII}}{d_3}=\frac{2\cdot 157,82\;Nm}{0,08\;m}=3945,5\;N

F_{r3}=F_{r4}=F_{t3}\cdot tan(20\degree)=1436,04\;N

Stütz- Lagerkräfte

X-Horizontal

\circlearrowleft\Sigma M_{Cx}=0=F_{t3}\cdot 90\;mm\;-\;F_{t2}\cdot 290\;mm\;+F_{Dx}\cdot 380\;mm

F_{Dx}=\frac{-F_{t3}\cdot 90\;mm\;+F_{t2}\cdot 290\;mm}{380\;mm}=571,06\;N

\circlearrowleft\Sigma M_{Dx}=0=F_{t2}\cdot 90\;mm\;-\;F_{t3}\cdot 290\;mm\;-F_{Cx}\cdot 380\;mm

F_{Cx}=\frac{F_{t2}\cdot 90\;mm\;-F_{t3}\cdot 290\;mm}{380\;mm}=2543,81\;N

Y-vertikal

\circlearrowleft\Sigma M_{Cy}=0=-F_{r3}\cdot 90\;mm\;-\;F_{r2}\cdot 290\;mm\;+F_{Dy}\cdot 380\;mm

F_{Dy}=\frac{F_{r3}\cdot 90\;mm\;+F_{r2}\cdot 290\;mm}{380\;mm}=888,08\;N

\circlearrowleft\Sigma M_{Dy}=0=F_{r2}\cdot 90\;mm\;+\;F_{r3}\cdot 290\;mm\;-F_{Cy}\cdot 380\;mm

F_{Cy}=\frac{F_{r2}\cdot 90\;mm\;+F_{r3}\cdot 290\;mm}{380\;mm}=1265,98\;N

resultierende Kräfte

F_{res}=\sqrt{F_{x}\;^2+F_{y}\;^2}

F_{Cres}=\sqrt{\left (2543,81\;N\right )^2+(1265,98\;N)^2}=2841,42\;N

F_{Dres}=\sqrt{\left (571,06\;N\right )^2+(888,08\;N)^2}=1055,84\;N

Biege- Vergleichsmomente

M_{b1}=F_{Cres}\cdot 90\;mm={255,73\;Nm}

M_{V}=\sqrt{M_{b}\;^2+0,75(\alpha_{0} \cdot M_{t})^2}

M_{V1}=\sqrt{(255,73\;Nm)\;^2+0,75(0,7 \cdot 157,82\;Nm)^2}=273,04\;Nm

M_{b2}=F_{Dres}\cdot 90\;mm={95,03\;Nm}

M_{V2}=\sqrt{(95,03\;Nm)\;^2+0,75(0,7 \cdot 157,82\;Nm)^2}=134,85\;Nm

Gestaltwechselfestigkeit

Stelle 1

Zunächst müssen wir zum Ablesen einiger Faktoren den überschlägigen Durchmesser ermitteln.

d'\approx 3,4\sqrt[3]{\frac{M_{V}}{\sigma _{bWN}}}

d'_1\approx 3,4\sqrt[3]{\frac{273,04\cdot 1000\;Nmm\cdot mm^2}{300\;N}}=32,94\;mm

Jetzt können wir aus den Tabellen die benötigten Werte ablesen.

σbWN = 300 N/mm² [1-1] K= 1 [3-11] SDerf = 1,8 [3-14a/c] βKb ≈ 2,3 [3-8] Kg = 0,92 [3-11] K = 0,92 [3-10] KV = 1 [3-12]

K_{Db}=\left ( \frac{\beta _{Kb}}{K_{g}}+\frac{1}{K_{O}}-1 \right )\cdot\frac{1}{K_{V}}

K_{Db}=\left ( \frac{2,3}{0,92}+\frac{1}{0,92}-1 \right )\cdot\frac{1}{1}=2,59

\sigma _{bGW}=\frac{K_{t}\cdot \sigma_{bWN}}{K_{Db}\cdot S_F\cdot S_{z}}

\sigma _{bGW}=\frac{1\cdot 300\;N}{mm^2\cdot \;2,59\cdot 1,8}=64,35\;N/mm^2

Stelle 2

Die gleiche Vorgehensweise können wir bei Stelle 2 anwenden.

d'\approx 3,4\sqrt[3]{\frac{M_{V}}{\sigma _{bWN}}}

d'_1\approx 3,4\sqrt[3]{\frac{134,85\cdot 1000\;Nmm\cdot mm^2}{300\;N}}=26,04\;mm

σbWN = 300 N/mm² [1-1] K= 1 [3-11] SDerf = 1,8 [3-14a/c] βKb ≈ 2,3 [3-8] Kg = 0,9 [3-11] K = 0,92 [3-10] KV = 1 [3-12]

K_{Db}=\left ( \frac{\beta _{Kb}}{K_{g}}+\frac{1}{K_{O}}-1 \right )\cdot\frac{1}{K_{V}}

K_{Db}=\left ( \frac{2,3}{0,9}+\frac{1}{0,92}-1 \right )\cdot\frac{1}{1}=2,64

\sigma _{bGW}=\frac{K_{t}\cdot \sigma_{bWN}}{K_{Db}\cdot S_F\cdot S_{z}}

\sigma _{bGW}=\frac{1\cdot 300\;N}{mm^2\cdot \;2,64\cdot 1,8}=63,07\;N/mm^2

Durchmesser

Bei der Berechnung von Getrieben ist die richtige Dimensionierung der Wellen ein maßgebender Faktor. Nun können wir diese Dimensionierung vornehmen, da uns alle Einflussgrößen bekannt sind.

Stelle 1

d=\sqrt[3]{\frac{M_V\cdot 32}{\sigma_{bGW}\cdot \pi}}

d_1=\sqrt[3]{\frac{273,04\cdot 1000\cdot 32}{64,35\cdot \pi}}=35,09\;mm

d_{1gew}=35,5\;mm \;[1-16]

Stelle 2

d_2=\sqrt[3]{\frac{134,85\cdot 1000\cdot 32}{63,07\cdot \pi}}=27,93\;mm

d_{2gew}=28\;mm\; [1-16]

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