Statik

Zentrales Kräftesystem

Eine Kräftegruppe wird als zentrales ebenes Kräftesystem bezeichnet wenn alle Kräfte auf einer Ebene liegen und alle Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden.

Der Parallelogrammsatz ermöglicht es uns „gerichtete Vektoren“ (Geschwindigkeiten ν, Beschleunigungen a, Wegen s und Kräfte F) zusammenzusetzen oder zu zerlegen.

Zusammensetzen von zwei nicht parallelen Kräften (Kräftereduktion)

Kräfte sind linienflüchtige Vektoren, dass bedeutet, dass sie auf ihrer Wirklinie beliebig verschoben werden dürfen. Wir können also zwei nicht parallel wirkende Kräfte auf einen gemeinsamen zentralen Punkt verschieben. Diesen Schritt nennen wir eine geometrische Addition. Das Verfahren wird als Kräftereduktion bezeichnet.

Es gelten folgende Beziehungen:

  • Die Dreiecke die hier entstehen sind selten rechtwinklig (Dies wäre Zufall).
  • Die Strecke [AF2] ist parallel zur Strecke [F1Fr].
  • Die Strecke [AF1] ist parallel zur Strecke [F2Fr].
  • Der Winkel α lässt sich ebenso auf die andere Seite „spiegeln“.
  • Wie in jedem anderen Parallelogramm ergeben zwei benachbarte Winkel zusammen immer 180°.

Die Kräfte F1 und Fwerden geometrisch zu Fr (Resultierende Kraft) addiert.

Fr=F12+F22+2·F1·F2·cos(α) β=arcsinF1·sin(α)Fr

Parallelogrammsatz
Die Resultierende Fr (Ersatzkraft) zweier an einem Punkt angreifender Kräfte F1 und F2 ist die Diagonale des Parallelogramms.

Krafteck

Das oben dargestellte Kräfteparallelogramm kann auch als Dreieck dargestellt werden. Der Sinn bleibt der Gleiche.

Beispiel

Fr=(1385 N)2+(984 N)2+2·1385 N·984 N·cos(101,5°)Fr=1530 N

Diese Formel funktioniert natürlich auch bei Rechtecken, also wenn Kräfte rechtwinklig zueinander stehen. Da wäre der Winkel α logischerweise 90°. Natürlich kann in diesem Fall auch der Tangens bzw. Arcustangens verwendet werden.

β=arcsin1385 N·sin(101,5°)1530 Nβ=62,5°

Berechnen

Zerlegen einer Kraft in zwei nicht parallele Kräfte

Ist die resultierende Kraft Fgegeben und werden stattdessen die Einzelkräfte F1 und F2 gesucht, kann das Kräfteparallelogramm anhand der resultierenden Kraft und der Wirklinien der Einzelkräfte gezeichnet werden.

Dazu werden die Wirklinien parallel auf den Endpunkt der resultierenden Kraft versetzt. Die Punkte an denen sich diese schneiden sind dann die Endpunkte der Einzelkräfte.

Wir können nun diese Kräfte auch berechnen.

F2=Fr·sin(β)sin(180°α) F1=Fr·cos(β)F2·cos(α)

Resultierende Kraft aus rechtwinkligen Einzelkräften

Oft ist es nötig die resultierende Kraft Fr in zwei Einzelkomponenten Fx und Fy zerlegen. Dazu wird die resultierende Kraft unter dem Winkel α in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Einzelkräfte können dann anhand der Winkelfunktionen Sinus und Cosinus errechnet werden.

Fx=Fr·cos(α) Fy=Fr·sin(α)

Hinweis: Ich schreibe diesen Artikel als Lernender. Daher ist mein Verfahren vielleicht nicht immer das sauberste. Obwohl dieser Artikel sorgfältig recherchiert und erarbeitet ist übernehme ich keinerlei Haftung für die Richtigkeit der Inhalte. Solltet ihr einen Fehler finden, oder eine bessere Möglichkeit sehen, dann würde ich mich über einen Kommentar sehr freuen.

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