Die zusammengesetzte Beanspruchung ist die Zusammensetzung mehrerer Beanspruchungen in einem Bauteil. Wir kennen bereits die Beanspruchungen Zug (Normalspannung σ), Druck (Normalspannung σ),  Biegung (Normalspannung σ) und die Torsion (Tangentialspannung τ). Doch was ist, wenn mehrere Beanspruchungen gleichzeitig auftreten? Bei Zug/Druck und Biegung können wir die Spannungen addieren, da diesen Normalspannungen zu Grunde liegen. Schub und Torsion ebenfalls. Bei Biegung und gleichzeitiger Torsion geht das leider nicht. Die Biegung ist eine Normalspannung und wirkt orthogonal auf den Querschnitt, während die Tangentialspannung in axialer Richtung im Querschnitt wirkt. Eine einfache Addition ist deswegen nicht möglich.

zusammengesetzte Beanspruchung
zusammengesetzte Beanspruchung

Dies erkennt man allein schon an den unterschiedlichen Modulen, welche wir bei Normalspannungen und Tangential- Schubspannungen annehmen. Während der Normalspannung das Elastizitätsmodul E (Stahl 210000 N/mm²) zugrunde liegt, berücksichtigen wir bei Schub das Schubmodul G (Stahl 81000 N/mm²). Roloff Matek TB 1-1

Vergleichsspannung

Um diese Unterschiede zu berücksichtigen wird eine Vergleichsspannung (ideelle Spannung) ermittelt. Diese wurde aus der Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie ermittelt, da diese Versuchen entsprechend gut übereinstimmt. Bei diesen Versuchen wurde festgestellt, dass Tangentialspannungen das Bauteil deutlich höher beanspruchen als Normalspannungen. Dies wird in der Gleichung durch den Faktor 3 dargestellt.

σv=σb2+3α0·τt2σbzul

Vergleichsmoment

Das Problem dabei ist jedoch, dass wir dazu den Durchmesser kennen oder einen annehmen müssen. Um dieses Problem zu umgehen, lässt sich aus der Gleichung der Vergleichsspannung ein Vergleichsmoment ableiten.

σv=σb2+3α0·τt2

Für σb und τt kennen wir die Gleichungen der Grundbeanspruchungsarten.

σb=MbWb und τt=MtWt

Jetzt haben wir jedoch noch das Problem, dass wir mit Wb und Wt zwei unterschiedliche Variablen haben. Schaut man sich die Formeln dafür aber an, erkennen wir, dass Wt doppelt so groß ist wie Wb also setzen wir für Wb einfach Wb ein und für Wt nehmen wir 2·Wb

1) σv=σb2+3α0·τt22) σv=MbWb2+3α0·MtWt23) σv=MbWb2+3α0·Mt2·Wb2

Soweit so gut. Jetzt wird es etwas kniffliger. Nun müssen wir die Quadrierung unter dem Bruch ausklammern. Dazu quadrieren wir jedes Monom einzeln und lassen die Klammern weg. Achtung! auch die 2 unter dem Mt und αmüssen quadriert werden. Die 3 vor α0 steht jedoch nicht in der Klammer und bleibt wie sie ist.

4) σv=Mb2Wb2+3α02·Mt24Wb2

Jetzt lösen wir die Brüche auf, indem wir Wb vor den Bruch schreiben. Wir erinnern uns eine Quadrierung ist die Äquivalenzumformung eines Bruchs.

5) σv=1WbMb2+3α02·Mt24

Dann schreiben wir die Gleichung ins Reine indem wir die 4 zu der 3 in den Bruch packen, beide sind nicht quadriert. α0 und Mt jedoch schon. Diese fassen wir in einer quadrierten Klammer zusammen.

6) σv=1WbMb2+34· α0·Mt2

Nun lösen wir noch die Brüche auf, indem wir Wb multiplizieren und den Bruch in der Wurzel in eine Dezimalzahl umwandeln.

7) σv·Wb=Mb2+0,75· α0·Mt2

Schauen wir uns die Biegehauptgleichung noch mal an.

σb=MbWb Mb=σb·Wb

Daraus lässt sich das Produkt vor dem Gleichzeichen in ein Vergleichsmoment umwandeln.

σv=MvWb Mv=σv·Wb

daraus folgt.

8) Mv=Mb2+0,75· α0·Mt2

Diese Gleichung lässt sich nun auch ohne einen bekannten Durchmesser nutzen.

Formelzeichen

FormelzeichenBedeutungEinheit
σVVergleichsspannungN/mm²
σbBiegespannungN/mm²
τtTorsionsspannungN/mm²
α0AnstrengungsverhältnisoE
σbGrenzGrenzfestigkeit (Biegung)N/mm²
τtGrenzGrenzfestigkeit (Torsion)N/mm²
MVVergleichsmomentNmm bzw. Nm
KAAnwendungsfaktor / BetriebsfaktoroE
SFSicherheit gegen FließenoE

Formeln

Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese

Für die zusammengesetzte Beanspruchung Biegung und Torsion

σv=σb2+3α0·τt2σbzul

Anstrengungsverhältnis

Das Anstrengungsverhältnis berücksichtigt die Kombination der verschiedenen Lastfälle, die auftreten können.

α0=σbGrenz1,73·τtGrenz

Für Wellen aus Stahl ist dieses jedoch näherungsweise bekannt.

α0 0,7 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion ruhend (schwellend) Standardfall für Wellen

α0 0,1 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion wechselnd

α0 1,5 bei Biegung, ruhend (schwellend) wirkend und Torsion wechselnd

Vergleichsmoment

Für die zusammengesetzte Beanspruchung Biegung und Torsion

Mv=Mb2+0,75· α0·Mt2

Beispiel 1 Hubschlitten:

zusammengesetzte Beanspruchung Hubschlitten

Wird das Handrad (1) gedreht, dreht sich auch die Gewindespindel (2), da diese über den Stift (6) formschlüssig verbunden ist. Dadurch wird der Mitnehmer (3) und damit auch der Schlitten (4) linear bewegt. Die Spindel ist im Gehäuse (5) gelagert. Das Handrad ist durch die Anlaufscheibe (7) axial gegen das Gehäuse (5) gelagert.

Der Schlitten wird durch eine Kraft von 800 N belastet. Das Handrad wird mit einem Drehmoment von 3 Nm betrieben. Wir gehen in diesem Beispiel von einer statischen Belastung aus. Als Werkstoff nehmen wir den Maschinenbaustahl E295 an. Die Streckgrenze beträgt 300 N/mm² (RM TB 1-1) . Aufgrund möglicher leichter Stöße im Betrieb berücksichtigen wir einen Betriebsfaktor KA von 1,25. Die Sicherheit gegen Fließen SF ist vom Kunden mit 1,7 vorgegeben.

Wir sollen nun mögliche gefährdete Querschnitte der Gewindespindel (2) analysieren und den Festigkeitsnachweis erbringen.

Wir haben drei mögliche Stellen als gefährdete Querschnitte analysiert und festgehalten wo welche Belastungen wirken. Die Biegebeanspruchung wird durch die Radiallager in Form des Mitnehmers (3) und des Gehäuses (5) aufgenommen und wirkt am stärksten zwischen diesen. Zug- und Torsionsbeanspruchung wirken auch erst ab dem Mitnehmer (3) da vor diesem ja nichts an der Spindel zieht. Diese Beanspruchungen wirken jedoch über das Gehäuse (5) hinaus, da es keine Axialkräfte aufnimmt.

Wir haben also an allen drei ausgemachten Stellen eine zusammengesetzte Beanspruchung.

  1. zusammengesetzte Beanspruchung aus Zug, Biegung und Torsion
  2. zusammengesetzte Beanspruchung aus Zug und Torsion
  3. zusammengesetzte Beanspruchung aus Zug und Torsion

Stelle 1: zusammengesetzte Beanspruchung aus Zug, Biegung und Torsion

Zug

σz=KA·FA KA·F·4π·d2

Werte einsetzen

σz=1,25·800 N·4π·132·mm2σz=7,53 N/mm²

Biegung

σb=MbWb  σb=KA·Mb·32π·d3

Werte einsetzen

σb=1,25 · 800 N · 30 mm · 32π·133 mm3 2σb=139,09 N/mm²

Torsion

τt=KA·MtWt KA·Mt·16π·d3τt=1,25·3000 Nmm·16π·133 mm3 2τt=8,69 N/mm²

zusammengesetzte Beanspruchung aus Zug, Biegung und Torsion

σv=σb+σz2+3·α0·τt2σv=139,09 Nmm²+7,53Nmm²2+3·0,7·8,69Nmm²2σv=147 N/mm²

Die Vergleichsspannung muss geringer sein als

σvzul=ReNSFσvzul=300 Nmm²·1,7σvzul=173,47

Die Vergleichsspannung ist geringer als die zulässige Vergleichsspannung. Stelle 1 ist also ausreichend dimensioniert.

Stelle 2: zusammengesetzte Beanspruchung aus Zug und Torsion

Zug

σz=KA·FA KA·F·4π·d2

Werte einsetzen

σz=1,25·800 N·4π·122·mm2σz=8,84 N/mm²

Torsion

τt=KA·MtWt KA·Mt·16π·d3τt=1,25·3000 Nmm·16π·123 mm3 2τt=11,05 N/mm²

zusammengesetzte Beanspruchung aus Zug, Biegung und Torsion

σv=σb+σz2+3·α0·τt2σv=8,84Nmm²2+3·0,7·11,05Nmm²2σv=16,05 N/mm²

Die Vergleichsspannung ist hier deutlich geringer als die zulässige Vergleichsspannung. Stelle 2 ist also mehr als ausreichend dimensioniert.

Stelle 3: zusammengesetzte Beanspruchung aus Zug und Torsion

Zug

σz=KA·FA

Hier müssen wir bei der Fläche A noch die Bohrung abziehen. Wir sehen die abzuziehende Fläche als Rechteck an. Die Rundung kann aufgrund der Irrelevanz unberücksichtigt bleiben.

A=π·d24dStift·dA=π·122 mm244 mm·12 mmA=65,1 mm²

Diese können wir einsetzen.

σz=1,25·800 N65,1 mm2σz=15,36 N/mm²

Torsion

Die Formel für Wt bei Zylindern mit zylindrischer bzw. rechteckiger Aussparung finden wir im Roloff Matek TB 11-3

τt=KA·MtWt KA·Mt0,2·D2·D1,7·dτt=1,25·3000 Nmm0,2·122 mm2·(12 mm  1,7 · 4 mm)τt=25,04 N/mm²

zusammengesetzte Beanspruchung aus Zug, Biegung und Torsion

σv=σb+σz2+3·α0·τt2σv=15,36Nmm²2+3·0,7·25,04Nmm²2σv=34,02 N/mm²

Auch hier ist die Vergleichsspannung deutlich geringer als die zulässige Vergleichsspannung. Stelle 3 ist also ebenfalls mehr als ausreichend dimensioniert. Dementsprechend ist Stelle 1 am meisten beanspruchte.

Beispiel 2: Fahrrad Pedal

Wir haben folgende Ausgangssituation.

  1. Es soll untersucht werden welchen Durchmesser die Stelle A1 aufweisen muss, wenn das Pedal für ein Maximalgewicht von 140 kg ausreichend dimensioniert sein soll. Der Werkstoff des Pedals ist E295.
  2. Außerdem soll der Wellendurchmesser am Wälzlager bestimmt werden.

Stelle A1

Hier halten wir als erstes fest, dass wenn wir die Kraft auf die Pedale ausüben, die Pedalstange an der Fläche A1 verdreht werden würde, da zwischen Punkt 1 und der Kraft F aufgrund des 100 mm langen Hebels ein Moment entsteht. Da sich dieses in der Achsrichtung der Fläche A1 befindet handelt es sich um eine Tangentialspannung, also ein Torsionsmoment Mt.

Außerdem haben wir auch noch eine Biegung, da wir auch lotrecht auf die Fläche A1 gesehen einen Wirkabstand haben, der durch die Kraft F ein Moment erzeugt. An Punkt 1 haben wir zur Kraft F ein Kräftepaar. Das bedeutet, dass wir am Punkt 1 die selbe Kraft annehmen können wie F, multipliziert man diese mit dem Hebelabstand von 150 mm zur Fläche A, erhalten wir unser Biegemoment Mb.

Reine Zug-, Druck- oder Schubspannung stellen wir nicht fest.

Biegemoment

Mb=1400 N · 150 mm = 210000 Nmm

Torsionsmoment

Mt=1400 N·100 mm=140000 Nmm

Da wir die Durchmesser ermitteln wollen, diese also noch nicht kennen ermitteln wir nun das Vergleichsmoment Mv. Das Anstrengungsverhältnis ist 1, da Torsion und Biegung den selben Lastfall haben (schwellend).

Vergleichsmoment

Mv=Mb2+0,75α0·Mt2Mv=(210000 Nmm)2+0,751·140000 Nmm2Mv=242490 Nmm

Anschließend wollen wir den Durchmesser ermitteln. Das Vergleichsmoment wird hierbei gegen das Widerstandsmoment gegen Biegung geprüft. Wir nehmen also die Biegehauptgleichung und stellen diese nach d um.

σbzul=MvWbσbzul=Mv·32π·d3   ·(π·d3)σbzul·π·d3=Mv·32   ÷(σbzul·π)d3=Mv·32σbzul·π    3d=Mv·32σbzul·π3

Nun kennen wir alle Werte außer σbzul.

σbzul=σbSchNSF=355 Nmm²·1,5=236,67 N/mm²

Den Wert können wir nun einsetzen.

d=Mv·32σbzul·π3d=242490 Nmm·32·mm²236,67 N·π3d=21,85 mmdgew=22,4 mm (nach DIN 323)

Festigkeitsnachweis

Einen einfachen Festigkeitsnachweis können wir führen indem wir die vorhandene Spannung mit der zulässigen Spannung vergleichen. Die vorhandene Spannung muss kleiner sein.

σvor < σzul

Für die vorhandene Spannung haben wir keinen Wert. Wir können diesen jedoch aus dem Vergleichsmoment ableiten.

σvorh=MvWbσvorh=Mv · 32π·d3σvorh=242490 Nmm · 32π · 22,43 mm3 2σvorh=219,76 N/mm2 < 236,67 N/mm2

Der Festigkeitsnachweis ist erbracht.

Stelle A2

Wir untersuchen hier die Stelle A2 direkt am Wälzlager, da hier der größte Abstand zum Hebel ist und das Biegemoment hier am größten ist. Die Torsion ist hier durch die Pedalstange gegeben, also ähnlich dem Biegemoment von Stelle A1 nur dieses mal mit einem Hebelarm von 170 mm.

Beim Biegemoment haben wir eine Länge von 35 mm von der Stelle A1 zur Achse der Pedalstange.

zusammengesetzte Beanspruchung Fahrradpedal

Biegemoment

Mb=1400 N · 135 mm = 189000 Nmm

Torsionsmoment

Mt=1400 N·170 mm=238000 Nmm

Vergleichsmoment

Hier haben wir jedoch bei der Biegung eine wechselnde Belastung, da die Wellung sich ja um die eigene Achse dreht. Also beträgt das Anstrengungsverhältnis α0 hier 0,7

Mv=Mb2+0,75α0·Mt2Mv=(189000 Nmm)2+0,750,7·238000 Nmm2Mv=237780 Nmm

zulässige Biegespannung

σbzul=σbWNSF=245 Nmm²·1,5=163,33 N/mm²

Durchmesser

d=Mv·32σbzul·π3d=237780 Nmm·32·mm²163,33 N·π3d=24,56 mmdgew= 25 mm (nach DIN 323)

Festigkeitsnachweis

σvorh=MvWbσvorh=Mv · 32π·d3σvorh=237,78 Nmm · 32π · 253 mm3 2σvorh=155,01 N/mm2 < 163,33 N/mm2

Der Festigkeitsnachweis ist erbracht.

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