zusammengesetzte Beanspruchung

zusammengesetzte Beanspruchung bei Biegung und Torsion

Die zusammengesetzte Beanspruchung ist die Beanspruchung mehrerer Beanspruchungen in einem Bauteil. Wir kennen bereits die Beanspruchungen Zug (Normalspannung σ), Druck (Normalspannung σ),  Biegung (Normalspannung σ) und die Torsion (Tangentialspannung τ). Doch was ist, wenn mehrere Beanspruchungen gleichzeitig auftreten? Bei Zug/Druck und Biegung können wir die Spannungen addieren, da diesen Normalspannungen zu Grunde liegen. Bei Biegung und gleichzeitiger Torsion geht das leider nicht. Die Biegung ist eine Normalspannung und wirkt orthogonal auf den Querschnitt, während die Tangentialspannung in axialer Richtung im Querschnitt wirkt. Eine einfache Addition ist deswegen nicht möglich.

Dies erkennt man allein schon an den unterschiedlichen Modulen, welche wir bei Normalspannungen und Tangential- Schubspannungen annehmen. Während der Normalspannung das Elastizitätsmodul E (Stahl 210000 N/mm²) zugrunde liegt, berücksichtigen wir bei Schub das Schubmodul G (Stahl 81000 N/mm²). Roloff Matek TB 1-1

Vergleichsspannung

Um diese Unterschiede zu berücksichtigen wird eine Vergleichsspannung (ideelle Spannung) ermittelt. Diese wurde aus der Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie ermittelt, da diese Versuchen entsprechend gut übereinstimmt.

${\sigma }_v=\sqrt{{{\sigma }_b}^2+3{\left({\alpha }_0·{\tau }_t\right)}^2}\le {\sigma }_{bzul}$

Vergleichsmoment

Das Problem dabei ist jedoch, dass wir dazu den Durchmesser kennen oder einen annehmen müssen. Um dieses Problem zu umgehen, lässt sich aus der Gleichung der Vergleichsspannung ein Vergleichsmoment ableiten.

${\sigma }_v=\sqrt{{{\sigma }_b}^2+3{\left({\alpha }_0·{\tau }_t\right)}^2}$

Für σ_b und τ_t kennen wir die Gleichungen der Grundbeanspruchungsarten.

${\sigma }_b=\frac{M_b}{W_b} und {\tau }_t=\frac{M_t}{W_t}$

Jetzt haben wir jedoch noch das Problem, dass wir mit W_b und W_t zwei unterschiedliche Variablen haben. Schaut man sich die Formeln dafür aber an, erkennen wir, dass W_t doppelt so groß ist wie W_b also setzen wir für W_b einfach W_b ein und für W_t nehmen wir 2·W_b

$$\begin{gathered} 1) {\sigma }_v=\sqrt{{{\sigma }_b}^2+3{\left({\alpha }_0·{\tau }_t\right)}^2} \\ 2) {\sigma }_v=\sqrt{{\left(\frac{M_b}{W_b}\right)}^2+3{\left({\alpha }_0·\frac{M_t}{W_t}\right)}^2} \\ 3) {\sigma }_v=\sqrt{{\left(\frac{M_b}{W_b}\right)}^2+3{\left({\alpha }_0·\frac{M_t}{2·W_b}\right)}^2} \end{gathered}$$

Soweit so gut. Jetzt wird es etwas kniffliger. Nun müssen wir die Quadrierung unter dem Bruch ausklammern. Dazu quadrieren wir jedes Monom einzeln und lassen die Klammern weg. Achtung! auch die 2 unter dem M_t und α₀ müssen quadriert werden. Die 3 vor α₀ steht jedoch nicht in der Klammer und bleibt wie sie ist.

$4) {\sigma }_v=\sqrt{\frac{{M_b}^2}{{W_b}^2}+{3{\alpha }_0}^2·\frac{{M_t}^2}{{4W_b}^2}}$

Jetzt lösen wir die Brüche auf, indem wir W_b vor den Bruch schreiben. Wir erinnern uns eine Quadrierung ist die Äquivalenzumformung eines Bruchs.

$5) {\sigma }_v=\frac{1}{W_b}\sqrt{{M_b}^2+{3{\alpha }_0}^2·\frac{{M_t}^2}{4}}$

Dann schreiben wir die Gleichung ins Reine indem wir die 4 zu der 3 in den Bruch packen, beide sind nicht quadriert. α₀ und M_t jedoch schon. Diese fassen wir in einer quadrierten Klammer zusammen.

$6) {\sigma }_v=\frac{1}{W_b}\sqrt{{M_b}^2+\frac{3}{4}· \left({\alpha }_0·{M_t}^2\right)}$

Nun lösen wir noch die Brüche auf, indem wir W_b multiplizieren und den Bruch in der Wurzel in eine Dezimalzahl umwandeln.

$7) {\sigma }_v·W_b=\sqrt{{M_b}^2+0,75· \left({\alpha }_0·{M_t}^2\right)}$

Schauen wir uns die Biegehauptgleichung noch mal an.

${\sigma }_b=\frac{M_b}{W_b} \Rightarrow M_b={\sigma }_b·W_b$

Daraus lässt sich das Produkt vor dem Gleichzeichen in ein Vergleichsmoment umwandeln.

${\sigma }_v=\frac{M_v}{W_b} \Rightarrow M_v={\sigma }_v·W_b$ $7) M_v=\sqrt{{M_b}^2+0,75· \left({\alpha }_0·{M_t}^2\right)}$

Diese Gleichung lässt sich nun auch ohne einen bekannten Durchmesser nutzen.

Formelzeichen

Formelzeichen	Bedeutung	Einheit
σV	Vergleichsspannung	N/mm²
σb	Biegespannung	N/mm²
τt	Torsionsspannung	N/mm²
α0	Anstrengungsverhältnis	oE
σbGrenz	Grenzfestigkeit (Biegung)	N/mm²
τtGrenz	Grenzfestigkeit (Torsion)	N/mm²
MV	Vergleichsmoment	Nmm bzw. Nm

Formeln

Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese

Für die zusammengesetzte Beanspruchung Biegung und Torsion

${\sigma }_v=\sqrt{{{\sigma }_b}^2+3{\left({\alpha }_0·{\tau }_t\right)}^2}\le {\sigma }_{bzul}$

Anstrengungsverhältnis

${\alpha }_0=\frac{{\sigma }_{bGrenz}}{1,73·{\tau }_{tGrenz}}$

Für Wellen aus Stahl ist dieses jedoch näherungsweise bekannt.

α_{0 ≈} 0,7 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion ruhend (schwellend) Standardfall für Wellen

α_{0 ≈} 0,1 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion wechselnd

α_{0 ≈} 1,5 bei Biegung, ruhend (schwellend) wirkend und Torsion wechselnd

Vergleichsmoment

Für die zusammengesetzte Beanspruchung Biegung und Torsion

$M_v=\sqrt{{M_b}^2+0,75· \left({\alpha }_0·{M_t}^2\right)}$