Berechnung von Getrieben Riemen / Zahnrad

In diesem Beispiel für die Berechnung von Getrieben wird ein Riementrieb von einem Elektromotor angetrieben. Der Riementrieb treibt wiederum ein zweistufiges Zahnradgetriebe an. Die Vorgehensweise basiert dabei auf dem Roloff Matek.

Der Propeller eines Industriegebläses soll mit einem Elektromotor angetrieben werden. Zu ermitteln sind:

Die Leistung und Auswahl eines geeigneten Elektromotors
Auswahl und Berechnung des Riementriebs
Berechnung des Zahnradgetriebes
Dimensionierung der Zwischenwelle am Zahnrad 2 und 3 mit dynamischen Festigkeitsnachweis

Weiter sind folgende Randbedingungen zu erfüllen:

Betriebstemperatur < 55°C
Propellerdrehzahlen sollen möglichst genau erreicht werden.
Der Antrieb soll für eine tägliche Nutzungsdauer von 8 h, häufiger Anlauf, Volllast stoßfrei ausgelegt werden.
Die Bauelemente müssen dauerhaft chemischen Korrosionseinflüssen widerstehen können.
Es sollen möglichst genormte Bauteile zum Einsatz kommen.
Die Propellerdrehzahl soll 750 min^-1 betragen.
Das Antriebsmoment am Propeller beträgt 70 Nm.
Es soll ein Motor mit 3000 min^-1 eingesetzt werden.

Riementrieb

Die maximalen Scheibengrößen dürfen platzbedingt nicht mehr als 250 mm betragen.
Die Zielübersetzung beträgt 1,3
Wirkungsgrad 82 %
geplanter Wellenabstand 350 mm

Zahnradgetriebe

zwei Getriebestufen
platzsparend (Antriebs- und Abtriebswelle ungefähr auf gleicher Höhe)
Zwischenwelle oberhalb Antriebs- Abtriebswelle
Wirkungsgrad 90 %
gerade verzahnte Stirnräder im Pressverband aufgeschrumpft
Übersetzung i_1/2 = 1,9
Zahnrad 1 z = 20, m = 4 mm
Zahnrad 3 z = 20, m = 4 mm
Mittenabstand zwischen den Zahnrädern = 200 mm
Mittenabstand zu den Gehäuselagern = 90 mm
Wellenwerkstoffe; X2CrNiN23-4

Berechnung von Getrieben (Motordimensionierung)

Nettoleistung

$P_{Netto}=M\cdot\pi \cdot 2\cdot n$

$P_{Netto}=\frac{70\;Nm\cdot 2\cdot \pi\cdot 750}{60\;s}=5497,79\;Nm/s$

P_Netto = 5,5 kW

Anwendungsfaktor K_A

K_A = 1,75

Bruttoleistung

$P_{Brutto}=\frac{P_{Netto}\cdot K_{A}}{\eta _{1}\cdot \eta _{2}}$

$P_{Brutto}=\frac{5,5\;kW\cdot 1,75}{0,82\cdot 0,9}=13,04\;kW$

Motorauswahl

Gewählter Motor 160L-18,5-3000 [16-21]

Berechnung von Getrieben (Riementrieb)

Riementyp- profil

gewählter Riementyp: Schmalkeilriemen (raumsparend)

gewähltes Riemenprofil: SPZ (keine größeren Riemenscheiben zu erwarten)

Scheibendurchmesser

Die erste Riemenscheibe dimensionieren wir anhand der maximal zulässigen Wellenbelastung anhand [TB 16-21]. Werte für Motoren mit 1500 min^-1 gibt es nicht. Wir können die Werte aber dennoch annehmen, da mit zunehmender Kraft die Motorenhersteller auch größere Wellen verbauen werden.

$F_{t}=\frac{P}{v}=\frac{P}{\pi\cdot d\cdot n}$

Die Gleichung stellen wir nach d um.

$d_{k}=\frac{P}{F_{t}\cdot \pi\cdot n}$

$F_{w0}=F_{t}\cdot k \;(1,3...1,5)$

$F_{t}=\frac{F_{w0}}{k}=\frac{1590\;N}{1,5}=1060\;N$

$d_{k}=\frac{18500\;Nm\cdot 60\;s}{s\cdot 1060\;N\cdot \pi\cdot 3000}=111\;mm$

$d_{kgew}=112\;mm \;[1-16]$

$d_{g}=d_kgew\cdot i=112\;mm\cdot 1,3=145,6\;mm$

$d_{ggew}=150\;mm[1-16]$

Anhand des geplanten Wellenabstandes von 350 mm sehen wir, dass keine Kollision der Riemenscheiben stattfinden wird, wenn wir die Radien addieren.

$i_{Rtats}=\frac{d_{ggew}}{d_{kgew}}=\frac{150 \;mm}{112\;mm}=1,339$

vorläufiger Wellenabstand

$0,7\cdot (d_g+d_k)\leq e'\leq 2\cdot (d_g+d_k)$

$0,7\cdot (150\;mm+112\;mm)\leq e'\leq 2\cdot (150\;mm\cdot 112\;mm)$

$183,4\;mm\leq 350\;mm\leq 524\;mm$

Der vorläufige Wellenabstand kann wie geplant 350 mm betragen.

Riemenlänge

$L'\approx 2\cdot e'+\frac{\pi}{2}\cdot(d_{g}+d_{k})+\frac{(d_{g}-d_{k})^2}{4\cdot e'}$

$L'\approx 2\cdot 350\;mm+\frac{\pi}{2}\cdot(150\;mm+112\;mm)+\frac{(150\;mm-112\;mm)^2}{4\cdot 350\;mm}$

$L'\approx 1112,58\;mm$

$L=1120\;mm\;[1-16]$

Wellenabstand

$e\approx\frac{L}{4}-\frac{\pi}{8}\cdot(d_{g}+d_{k})+\sqrt{\left [ \frac{L}{4}-\frac{\pi}{8}\cdot (d_{g}+d_{k}) \right ]^2-\frac{(d_g-d_k)^2}{8}}$

$e\approx\frac{1120\;mm}{4}-\frac{\pi}{8}\cdot(150\;mm+112\;mm)+\sqrt{\left [ \frac{1120\;mm}{4}-\frac{\pi}{8}\cdot (150\;mm+112\;mm) \right ]^2-\frac{(150\;mm-112\;mm)^2}{8}}$

$e=353,72\;mm$

Anzahl der Keilriemen

$\beta _k=2\cdot arccos(\frac{d_g\cdot d_k}{2\cdot e})$

$\beta _k=2\cdot arccos \left (\frac{150\;mm- 112\;mm}{2\cdot 353,72\;mm} \right )=173,84\;\degree$

P_N=5,5 kW [16-15b]

Ü_Z=0,3 [16-16b]

c₁=0,98 [16-17a]

c₂=0,91 [16-17c]

$z\geq \frac{P}{(P_N+\ddot{U}_z)\cdot c_1\cdot c_2}$

$z\geq \frac{18,5\;kW}{(5,5\;kW+0,3)\cdot 0,98\cdot 0,91}=3,58$

$z_{gew}=4$

Berechnung von Getrieben (Zahnradgetriebe)

Getriebeplan

Getriebedaten

Für die Berechnung von Getrieben müssen die Getriebestufen definiert sein.

1. Stufe

zuerst übernehmen wir die bekannten Daten.

z₁ = 20 Zähne, m = 4 mm, i_1/2= 1,9

Die unbekannten Daten können wir errechnen.

$z_{2}=z_1\cdot i_{1/2}=20\cdot 1,9=38$

$z_{2gew}=40 \;[1-16]$

die tatsächlichen Übersetzungsverhältnisse sind wichtig, um die korrekten Drehzahlen bestimmen zu können.

$i_{1/2 tats}=\frac{z_{2gew}}{z_1}=\frac{40}{20}=2$

2. Stufe

z₃ = 20 Zähne, m = 4 mm

Für die zweite Getriebestufe ist kein Übersetzungsverhältnis gegeben. Dieses können wir uns jedoch anhand der Gesamtübersetzung errechnen.

$i_{ges}=\frac{n_M}{n_V}=\frac{3000\cdot min}{min\cdot 750}=4$

Das Gesamtübersetzungsverhältnis ist das Produkt der einzelnen Übersetzungsverhältnisse.

$i_{ges}=i_{Rtats}\cdot i_{1/2tats}\cdot i_{3/4}$

Dieses können wir nun nach i_3/4 umstellen.

$i_{3/4}=\frac{i_{ges}}{i_{1/2}\cdot i_{Rtats}}=\frac{4}{2\cdot 1,34}=1,493$

Nun können wir die fehlenden Daten berechnen.

$z_{4}=z_3\cdot i_{3/4}=20\cdot 1,493=29,87$

$z_{4gew}=30 \;[1-16]$

Auch hier ermitteln wir wieder das tatsächliche Übersetzungsverhältnis.

$i_{3/4 tats}=\frac{z_{4gew}}{z_3}=\frac{30}{20}=1,5$

Durchmesser

$d_1=z_1\cdot m_{1/2}=20\cdot 4\;mm=80\;mm$

$d_2=z_2\cdot m_{1/2}=40\cdot 4\;mm=160\;mm$

$d_3=z_3\cdot m_{3/4}=20\cdot 4\;mm=80\;mm$

$d_4=z_4\cdot m_{3/4}=30\cdot 4\;mm=120\;mm$

Drehmomente

$M_{tI}=\frac{P}{2\cdot \pi\cdot n}=\frac{18500 \;Nm\cdot 60\;s}{2\cdot \pi\cdot 3000}=58,89\;Nm$

$M_{tII}=M_{tI}\cdot i_{Rtat}=58,89\cdot 1,34=78,91\;Nm$

$M_{tIII}=M_{tII}\cdot i_{1/2tat}=78,91\cdot 2=157,82\;Nm$

$M_{tIV}=M_{tIII}\cdot i_{3/4tat}=157,82\cdot 1,5=236,73\;Nm$

Tangential- Radialkräfte

$F_{t1}=F_{t2}=\frac{2\cdot M_{tIII}}{d_2}=\frac{2\cdot 157,82\;Nm}{0,16\;m}=1972,75\;N$

$F_{r1}=F_{r2}=F_{t1}\cdot tan(20\degree)=718,02\;N$

$F_{t3}=F_{t4}=\frac{2\cdot M_{tIII}}{d_3}=\frac{2\cdot 157,82\;Nm}{0,08\;m}=3945,5\;N$

$F_{r3}=F_{r4}=F_{t3}\cdot tan(20\degree)=1436,04\;N$

Stütz- Lagerkräfte

X-Horizontal

$\circlearrowleft\Sigma M_{Cx}=0=F_{t3}\cdot 90\;mm\;-\;F_{t2}\cdot 290\;mm\;+F_{Dx}\cdot 380\;mm$

$F_{Dx}=\frac{-F_{t3}\cdot 90\;mm\;+F_{t2}\cdot 290\;mm}{380\;mm}=571,06\;N$

$\circlearrowleft\Sigma M_{Dx}=0=F_{t2}\cdot 90\;mm\;-\;F_{t3}\cdot 290\;mm\;-F_{Cx}\cdot 380\;mm$

$F_{Cx}=\frac{F_{t2}\cdot 90\;mm\;-F_{t3}\cdot 290\;mm}{380\;mm}=2543,81\;N$

Y-vertikal

$\circlearrowleft\Sigma M_{Cy}=0=-F_{r3}\cdot 90\;mm\;-\;F_{r2}\cdot 290\;mm\;+F_{Dy}\cdot 380\;mm$

$F_{Dy}=\frac{F_{r3}\cdot 90\;mm\;+F_{r2}\cdot 290\;mm}{380\;mm}=888,08\;N$

$\circlearrowleft\Sigma M_{Dy}=0=F_{r2}\cdot 90\;mm\;+\;F_{r3}\cdot 290\;mm\;-F_{Cy}\cdot 380\;mm$

$F_{Cy}=\frac{F_{r2}\cdot 90\;mm\;+F_{r3}\cdot 290\;mm}{380\;mm}=1265,98\;N$

resultierende Kräfte

$F_{res}=\sqrt{F_{x}\;^2+F_{y}\;^2}$

$F_{Cres}=\sqrt{\left (2543,81\;N\right )^2+(1265,98\;N)^2}=2841,42\;N$

$F_{Dres}=\sqrt{\left (571,06\;N\right )^2+(888,08\;N)^2}=1055,84\;N$

Biege- Vergleichsmomente

$M_{b1}=F_{Cres}\cdot 90\;mm={255,73\;Nm}$

$M_{V}=\sqrt{M_{b}\;^2+0,75(\alpha_{0} \cdot M_{t})^2}$

$M_{V1}=\sqrt{(255,73\;Nm)\;^2+0,75(0,7 \cdot 157,82\;Nm)^2}=273,04\;Nm$

$M_{b2}=F_{Dres}\cdot 90\;mm={95,03\;Nm}$

$M_{V2}=\sqrt{(95,03\;Nm)\;^2+0,75(0,7 \cdot 157,82\;Nm)^2}=134,85\;Nm$

Gestaltwechselfestigkeit

Stelle 1

Zunächst müssen wir zum Ablesen einiger Faktoren den überschlägigen Durchmesser ermitteln.

$d'\approx 3,4\sqrt[3]{\frac{M_{V}}{\sigma _{bWN}}}$

$d'_1\approx 3,4\sqrt[3]{\frac{273,04\cdot 1000\;Nmm\cdot mm^2}{300\;N}}=32,94\;mm$

Jetzt können wir aus den Tabellen die benötigten Werte ablesen.

σ_bWN= 300 N/mm² [1-1] K_t= 1 [3-11] S_Derf = 1,8 [3-14a/c] β_Kb≈ 2,3 [3-8] K_g = 0,92 [3-11] K_Oσ = 0,92 [3-10] K_V= 1 [3-12]

$K_{Db}=\left ( \frac{\beta _{Kb}}{K_{g}}+\frac{1}{K_{O}}-1 \right )\cdot\frac{1}{K_{V}}$

$K_{Db}=\left ( \frac{2,3}{0,92}+\frac{1}{0,92}-1 \right )\cdot\frac{1}{1}=2,59$

$\sigma _{bGW}=\frac{K_{t}\cdot \sigma_{bWN}}{K_{Db}\cdot S_F\cdot S_{z}}$

$\sigma _{bGW}=\frac{1\cdot 300\;N}{mm^2\cdot \;2,59\cdot 1,8}=64,35\;N/mm^2$

Stelle 2

Die gleiche Vorgehensweise können wir bei Stelle 2 anwenden.

$d'\approx 3,4\sqrt[3]{\frac{M_{V}}{\sigma _{bWN}}}$

$d'_1\approx 3,4\sqrt[3]{\frac{134,85\cdot 1000\;Nmm\cdot mm^2}{300\;N}}=26,04\;mm$

σ_bWN= 300 N/mm² [1-1] K_t= 1 [3-11] S_Derf = 1,8 [3-14a/c] β_Kb≈ 2,3 [3-8] K_g = 0,9 [3-11] K_Oσ = 0,92 [3-10] K_V= 1 [3-12]

$K_{Db}=\left ( \frac{\beta _{Kb}}{K_{g}}+\frac{1}{K_{O}}-1 \right )\cdot\frac{1}{K_{V}}$

$K_{Db}=\left ( \frac{2,3}{0,9}+\frac{1}{0,92}-1 \right )\cdot\frac{1}{1}=2,64$

$\sigma _{bGW}=\frac{K_{t}\cdot \sigma_{bWN}}{K_{Db}\cdot S_F\cdot S_{z}}$

$\sigma _{bGW}=\frac{1\cdot 300\;N}{mm^2\cdot \;2,64\cdot 1,8}=63,07\;N/mm^2$